Recuperação “COMPLEXOS” MATEMÁTICA

Recuperação
“COMPLEXOS”
Professor:
ARGENTINO
o
3 ano
04/10/2016
MATEMÁTICA
1. (Eear) Se i é a unidade imaginária, então 2i3 + 3i2 + 3i + 2
é um número complexo que pode ser representado no plano de
Argand-Gauss no __________ quadrante.
a) primeiro b) segundo c) terceiro d) quarto
1 + ai
2. (Unicamp) Considere o número complexo z =
, onde
a−i
a é um número real e i é a unidade imaginária, isto é, i2 = −1.
6. (Unicamp) O módulo do número complexo
z = i2014 − i1987 é igual a
a) 2. b) 0. c) 3. d) 1.
7. (Fgv) No plano Argand-Gauss estão indicados um quadrado
ABCD e os afixos dos números complexos Z0, Z1, Z2, Z3, Z4, e
Z 5.
O valor de z2016 é igual a
a) a2016 . b) 1. c) 1 + 2016i. d) i.
3. (Unicamp) Sejam x e y números reais tais que
x + yi = 3 + 4i, onde i é a unidade imaginária. O valor de xy
é igual a
a) −2. b) −1. c) 1. d) 2.
4. (Uepa) Um dos resultados importantes da produção de
conhecimentos reside na possibilidade que temos de fazer a
interação de múltiplos saberes. O conceito de número complexo
é um bom exemplo dessa possibilidade exploratória da produção
científica, ao permitir relações com álgebra, geometria plana,
geometria analítica, trigonometria, séries e aritmética. Neste
sentido, considere os números complexos z1 = 2 + 2 ⋅ i,
z2 = 5 − 6 ⋅ i, z3 = −4 + 18 ⋅ i e os números reais k1 e k 2 tais
que a soma dos números complexos k1z1 e k2z2 resulta o
complexo z3 . Nestas condições, o valor de k1k 2 é:
1
a) 9 b) 8 c) 1 d)
8
1
e)
9
Se o afixo do produto de Z0 por um dos outros cinco números
complexos indicados é o centro da circunferência inscrita no
quadrado ABCD, então esse número complexo é
a) Z1. b) Z2. c) Z3. d) Z4. e) Z5.
8. (Ifal) O valor da potência (1− i)10 é:
a) 11i. b) 5i. c) −32i. d) −50i. e) 1 − 5i.
9. (Mackenzie) Se y = 2x, sendo x=
de (x + y)2 é
a) 9i b) – 9 + i c) –9 d) 9 e) 9 – i
1+ i
ei=
1− i
−1 , o valor
5. (Uel) Leia o texto a seguir.
Na virada do século XVIII para o século XIX, um agrimensor
10. (Uern) Seja z = a + bi um número complexo, tal que
norueguês, Wessel (1798), e um desconhecido matemático
4z − zi + 5 = −1 + 10i. Assim, o módulo do complexo z é
suíço, Argand (1806), foram, aparentemente, os primeiros a
a) 2 b) 2 2 c) 3 2 d) 4 2
compreender que os números complexos não têm nada de
“irreal”. São apenas os pontos (ou vetores) do plano que se
somam através da composição de translações e que se
multiplicam através da composição de rotações e dilatações (na
nomenclatura atual). Mas essas iniciativas não tiveram
repercussão enquanto não foram redescobertas e apadrinhadas,
quase simultaneamente, por Gauss, grande autoridade daquele
tempo que, já em vida, era reconhecido como um dos maiores
matemáticos de todos os tempos.
Adaptado de: CARNEIRO, J. P. “A Geometria e o Ensino dos Números Complexos”. Revista do Professor de Matemática.
2004. v.55. p.18.
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, uma
composição de rotação dos pontos P( −3, 4) e Q(2, − 3)
representados pelos números complexos z = −3 + 4i e
w = 2 − 3i.
a) −18 + 17i b) −6 − 12i c) −1 + i
d) 5 + 7i
e) 6 + 17i
1
Gabarito:
1: [B]
3
−1,5 − 1,5 ⋅ i
−1 + i
−1,5 − 1,5 ⋅ i −1 − i
=
⋅
−1 + i
−1 − i
1,5 + 1,5 ⋅ i + 1,5 ⋅ i − 1,5
=
1+ 1
= 1,5 ⋅ i
Zk =
Sendo
2
2i + 3i + 3i + 2 = −2i − 3 + 3i + 2
= −1 + i
= ( −1, 1),
podemos concluir que a imagem do complexo 2i3 + 3i2 + 3i + 2
está situada no segundo quadrante.
2: [B] Tem-se que
2
1 + ai 1 + ai a + i a + i + a i − a
=
⋅
=
= i.
a−i
a−i a+i
a2 + 1
Portanto, o valor de z2016 é i2016 = i0 = 1.
z=
= Z2 .
8: [C]
Sabendo que
i5 = i4 ⋅ i = (i2 )2 ⋅ i = (−1)2 ⋅ i = i,
vem
(1 − i)10 = [(1 − i)2 ]5
= (1 − 2i + i2 )5
3: [D]
Elevando os dois membros da igualdade ao quadrado, vem
2
2
2
= ( −2i)5
2
(x + yi) = ( 3 + 4i) ⇔ (x − y ) + 2xyi = 3 + 4i.
= ( −2)5 ⋅ i5
Portanto, temos 2xy = 4 se, e somente se, xy = 2.
4: [E] Tem-se que
k1z1 + k 2 z2 = z3 ⇔ k1(2 + 2 ⋅ i) + k 2 (5 − 6 ⋅ i) = −4 + 18 ⋅ i
⇔ (2k1 + 5k 2 ) + (2k1 − 6k 2 ) ⋅ i = −4 + 18 ⋅ i
⇔
⇔
= −32i.
9: [C]
x=
2k1 + 5k 2 = −4
2k1 − 6k 2 = 18
k1 = 3
k 2 = −2
.
Portanto, a resposta é k1k 2 = 3−2 =
1
.
9
5: [E]
Queremos calcular o produto z ⋅ w, ou seja,
z ⋅ w = ( −3 + 4i)(2 − 13i)
= −6 + 9i + 8i − 12i2
= 6 + 17i.
6: [A]
Como i4 = (i2 )2 = ( −1)2 = 1, vem
z = i2014 − i1987
= i4⋅503 + 2 − i4⋅496 +3
1 + i 1 + i i 2 + 2i − i 2 2i
⋅
=
= i e y = 2i
1− i 1+ i
12 − i 2 2
(x+y)2 = (i + 2i)2 = (3i)2 = 9i2 = - 9
10: [B]
Sendo z = a + bi, vem
4z − zi + 5 = 4(a + bi) − (a + bi)i + 5
= 4a + 4bi − ai + b + 5
= (4a + b + 5) + (4b − a)i.
Logo, deve-se ter
⎧4a + b + 5 = −1 ⎧4a + b = −6
⇔⎨
⎨
⎩4b − a = 10
⎩a − 4b = −10
⎧a = −2
⇔⎨
.
⎩b = 2
Portanto,
| z | = (−2)2 + 22 = 2 2.
= (i4 )503 ⋅ i2 − (i4 )496 ⋅ i3
= −1 + i.
Portanto, | z | = | −1 + i | = ( −1)2 + 12 = 2.
7: [B]
É fácil ver que o centro da circunferência inscrita no quadrado
ABCD é o ponto (−1,5; − 1,5).
Desse modo, queremos calcular Zk , tal que
Z0 ⋅ Zk = −1,5 − 1,5 ⋅ i.
Assim, como Z0 = −1+ i, temos
2