1 Função de Distribuição Acumulada

Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar - Campus Pombal
Disciplina: Estatística Básica - 2013 Aula 7
Professor: Carlos Sérgio
UNIDADE 4 - Variáveis Aleatórias Contínuas (Notas de aula)
Definição: Seja X uma variável aleatória. Suponha que <x , o contra-domínio de
X , seja um intervalo ou uma coleção de intervalos. Então diz-se que X é uma variável
aleatória contínua.
Definição: Seja X uma variável aleatória contínua. A função densidade de probabilidade f , indicada abreviadamente por f.d.p., é uma função f que satisfaz as seguintes
condições:
a) f (x) ≥ 0, x ∈ <x
b)
R
<x
f (x)dx = 1
Além disso, define-se, para qualquer c < d (em <x )
Z
d
f (x)dx
P (c < x < d) =
c
Observações:
a) P (c < x < d) representa a área sob a curva da f.d.p. f , entre os pontos x = c e
x = d.
b) Constitui uma consequência da descrição probabilística de X que, para qualquer
valor
R x0 especificado de X , digamos x0 , teremos P (X = x0 ) = 0, porque P (X = x0 ) =
f (x)dx = 0.
x0
1
Função de Distribuição Acumulada
Definição: A função de distribuição da variável aleatória X , representada por Fx ou
simplesmente F , é definida por:
FX (x) = P (X ≤ x)
1
Teorema
a) Se X for uma variável aleatória contínua com f.d.p f então:
x
Z
FX (x) =
f (s)ds
−∞
Suponha que X seja uma variável contínua com f.d.p.
O gráfico está apresentado na Figura abaixo
Figura 1: Meyer, página 75.
2
Esperança de uma Variável Aleatória Contínua
Se uma variável aleatória X possui uma distribuição contínua com f.d.p. f (x), então a
esperança E(X) é definida por:
Z
∞
x · f (x)dx
µ = E(X) =
−∞
Exemplo: Suponha que f.d.p. de uma v.a. X com uma distribuição contínua seja:
f (x) =
2x para 0 < x < 1
0 caso contrário
2
Então E(X) =
3
R1
0
x · (2x)dx =
R1
0
2x2 dx =
2x3
3
|10 =
2
3
Variancia de uma Variável Aleatória Contínua
Suponha que uma v.a. X possua uma distribuição contínua, cuja f.d.p. é f (x). Então
Z
∞
Z
2
∞
x2 f (x)dx − µ2
(x − µ) f (x)dx =
V (X) =
−∞
−∞
Exemplo: Suponha que f.d.p. de uma v.a. X com uma distribuição contínua seja:
f (x) =
2x para 0 < x < 1
0 caso contrário
Como visto anteriormente, E(X) = 32 . Então
V (x) =
R1
0
x2 (2x)dx − ( 23 )2 =
R1
0
2x3 dx − ( 32 )2 =
2x4
4
|10 −( 23 )2 =
2
4
−
4
9
=
2
36
Exercícios
1. Sendo f (x) = Kx3 a densidade de uma variável aleatória contínua no intervalo
0 < x < 1, determine o valor de K.
2. Uma variável aleatória contínua X é definida pela seguinte função densidade:
f (x) =
3
(x
2
0
− 1)2 se 0 ≤ x ≤ 2
caso contrário
Determinar:
a) A média.
b) A variância.
3. O diâmetro X de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com função
densidade de probabilidade dada por:
f (x) =
K(2x − x2 ) se 0 ≤ x ≤ 1
0
se x < 0 ou x > 1
a) Determinar K.
b) Calcular E(X) e V (X).
c) Calcular P (0 ≤ x ≤ 1/2).
3
4. Determinar a média e a variância de X , cuja f.d.p. é dada por:
f (x) =
2
x2
se 1 ≤ x ≤ 2
se x < 1 ou x > 2
0
5. Dada a função
f (x) =
2e−2x se x ≥ 0
0
se x < 0
a) Mostre que esta é uma f.d.p.
b) Calcule a probabilidade de X > 10.
6. A duração de uma lâmpada é uma variável aleatória T , cuja f.d.p. é:
f (t) =
t
1
e− 1000
1000
0
para t ≥ 0 (em horas)
se t < 0
Calcular a probabilidade de uma lâmpada:
a) Se queimar antes de 1.000 horas.
b) Durar entre 800 e 1.200 horas.
7. Uma variável aleatória contínua tem a seguinte fdp:

 2kx se 0 ≤ x < 3
kx para 3 ≤ x < 5
f (x) =

0
caso cantrário
Determinar o valor de k, a média e a variância da variável aleatória.
8. O número total de horas, medido em unidades de 100 horas, que uma família utiliza o
aspirador de pó em sua casa, durante o período de um ano, é uma variável aleatória
contínua X , que tem função de densidade

se 0 < x < 1
 x
2 − x para 1 ≤ x < 2
f (x) =

0
caso cantrário
Determine a probabilidade de que, durante o período de um ano, a família use o
aspirador
a) menos de 120 horas;
b) entre 50 e 100 horas.
4