02/09/2015 Proposição 1: O produto de dois números inteiros

Ministério da Educação
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Câmpus Ponta Grossa
CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO
Análise de Algoritmos – 2º semestre de 2015
PRIMEIRA PROVA - 02/09/2015
Proposição 1: O produto de dois números inteiros, n e m, é ímpar se, e somente se, n e
m são ímpares.
Proposição 2: Se n é um número racional e m é um número irracional, então nm é
irracional.
Observação: É permitido o uso das Proposições 1 e 2 nas demonstrações, se for
conveniente, não havendo necessidade de prova da mesma nas questões.
Questão 1) Prove que se n é número inteiro positivo par, então 7n+4 é par usando
cada uma das seguintes técnicas:
a) prova direta
Seja n um inteiro positivo par. Então n pode ser escrito como 2k, onde k é um
inteiro positivo. Então 7n+4 = 7(2k)+4 = 2(7k)+4 = 2(7k+2). Como k é inteiro, 7k+2 é
inteiro. Portanto, 7n+4 é par. □
b) prova por contraposição
Seja 7n + 4 um número ímpar. Então 7n+4 = 2k+1, para algum número inteiro k.
Então, 7n = 2k+1-4 = 2(2k-2)+1. Logo, 7n é ímpar e, pela Proposição 1, os números
7 e n são ímpares. Portanto, n é ímpar. □
c) prova por contradição
Seja n um inteiro positivo par e seja 7n+4 ímpar. Então, n = 2k, para algum número
inteiro k. Podemos reescrever 7n+4 como 7(2k)+4 = 14k+4 = 2(7k+2). Como k é
inteiro, 7k+2 é inteiro. Então, 7n+4 é par, contradizendo a hipótese de que 7n+4 é
ímpar. Portanto, se n é positivo e par, 7n+4 é par. □
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Questão 2) (2 pontos) Seja x um número real. Prove que se x é irracional então 3x+2 é
irracional.
Prova por contraposição: Suponha que 3x+2 é um número racional. Por definição de
números racionais, 3x+2 pode ser escrito como uma fração p/q, onde p e q são inteiros
e q ≠ 0. Então, 3x = p/q – 2 = (p-2q)/q. Então x = (p-2q)/3q. Como p e q são inteiros, p2q é um número inteiro e 3q é um número inteiro. Como q≠0, então 3q ≠ 0. Logo, x
pode ser escrito como uma fração com dividendo e divisor inteiros e divisor diferente
de zero. Portanto, x é racional. □
Questão 3) (1,5 pontos) Prove que se n é um número inteiro múltiplo de √ , então n
é múltiplo de 10.
Prova por vacuidade. Basta observar que n é inteiro e n = k√ , k inteiro. Como k é
inteiro, k é um número racional (pode ser escrito como fração k/1, de forma que
dividendo e divisor são números inteiros e o divisor é diferente de zero. Como √ é
irracional, pela Proposição 2, k√ é irracional. Logo, n é irracional. Mas, sendo n
inteiro, n pode ser escrito como n/1, uma fração onde divisor e dividendo são inteiros
e o divisor é diferente de zero. Portanto, n é irracional e racional. Um absurdo! Como a
hipótese é falsa, por vacuidade, a proposição é verdadeira.
Questão 4) (2 pontos) Prove que 1x2 + 2x3 + 3x4 + ... + n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3.
Prova por indução.
Base: n = 1.
1x2=2
Pela fórmula, substituindo n por 1:
1(2)(3)/3 = 2
Então a fórmula é condizente com o resultado da soma da sequência.
Suponha, por hipótese de indução, que 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + ... + k(k+1) =
k(k+1)(k+2)/3.
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Passo da indução:
1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + ... + k(k+1) + (k+1)(k+2), por hipótese de indução, é igual a:
k(k+1)(k+2)/3 + (k+1)(k+2) = [k(k+1)(k+2) + 3(k+1)(k+2)]/3 = (k+3)(k+1)(k+2)/3 =
(k+1)(k+2)(k+3)/3. □