Lógica Proposicional

Lógica Proposicional
Lógica Proposicional
●
●
As notações lógicas formais representam proposições em forma
simbólica fbf
Lembrando:
–
●
●
●
fbf: fórmula bem formulada;
Essas fbfs também são chamadas de fbfs proposicionais
Essas fbfs podem ser utilizadas para chegar a conclusões, novas
proposições
O sistema que utiliza essas fbfs proposicionais é chamado de
–
Lógica proposicional; ou
–
Lógica declarativa; ou
–
Cálculo proposicional.
2
Argumento Válido
●
Pode ser representado em forma simbólica como
P 1 ∧ P2 ∧ P 3 ∧ … ∧ Pn → Q
●
Onde:
–
P1, P2, P3,…,Pn: são proposições dadas de hipóteses do argumento
–
Q: é a conclusão do argumento.
Obs.: P e Q são fbfs e não letras de proposição
●
Q é ma conclusão lógica de P1, …, Pn sempre que
–
a verdade das proposições implica a verdade de Q
3
Exemplo 1
●
Seguindo essas duas proposições e essa conclusão:
George Washington foi o primeiro presidente dos EUA.
Thomas Jefferson escreveu a Declaração de Independência.
Portanto, todo dia tem 24 horas.
●
As proposições são verdadeiras.
●
Mas sobre a conclusão
–
É um fato verdadeiro isolado.
–
Não possui relação com as proposições.
–
Não devendo então ser considerado um argumento válido
4
O que deve ser considerado um
Argumento Válido então?
5
Argumento Válido
●
Define-se argumento válido quando
P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ … ∧ Pn → Q
for uma tautologia
●
Argumento do Exemplo 1:
A∧B→C
(não é tautologia)
6
Exemplo 2
●
Seguindo essas duas proposições e essa conclusão:
Se George Washington foi o primeiro presidente dos EUA, então John Adams foi
o primeiro vice-presidente.
George Washington foi o primeiro presidente dos Estados Unidos.
Portanto, John Adams foi o primeiro vice-presidente.
●
Sua forma simbólica é:
(A → B) ∧ A → B
●
Como essa é uma tautologia, o Argumento é Válido
●
Sua conclusão segue, inevitavelmente, das hipóteses.
7
Modus ponens
●
Essa forma de argumento é chamada de
modus ponens,
que significa “método de afirmação”.
●
Ele é utilizado para construir a lógica
proposicional.
8
Regras de Dedução
●
●
Para confirmar se um argumento é uma tautologia
pela tabela verdade ou pelo algoritmo
TestaTautologia.
Porém, o método mais utilizado são as regras de
dedução.
–
●
Elas são capazes de modificar a fbf de modo a preservar
seu valor lógico.
Como deve-se:
–
iniciar com as hipóteses verdadeiras (ou supostas);
–
e aplicar as regras de dedução;
–
até terminar com a conclusão.
9
Sequência de demonstração
●
●
É uma sequência de fbfs nas quais:
–
Cada uma é uma hipótese.
–
Ou cada uma é um resultado ao aplicar regras de dedução às fbfs
anteriores.
Da forma:
P1 (hipótese)
…
Pn
(hipótese)
fbf1
(obtida aplicando uma regra de dedução à fbf anterior)
fbf2
(obtida aplicando uma regra de dedução à fbf anterior)
...
Q (obtida aplicando uma regra de dedução à fbf anterior)
10
Cuidados
●
As regras de produção tem que ser escolhidas com cuidado.
●
Pois se a regra for forte demais:
●
–
os valores lógicos podem ser perdidos;
–
poderá ser deduzido qualquer valor de um conjunto de hipóteses.
E se for fraca demais:
–
●
Existirão conclusões que não serão capazes de serem provadas do
conjunto de hipóteses dado.
O sistema lógico formal utilizado deve ser:
–
Correto: nada que não deveria ser um teorema, não o é.
–
Completo: tudo o que deveria ser um teorema, o é.
11
Regras de dedução para a Lógica
Proposicional
●
São basicamente de dois tipos:
–
Equivalências: permitem que as fbfs individuais
sejam reescritas mantendo o mesmo valor lógico.
–
Inferências: permitem a dedução de novas fbfs a
partir de fbfs anteriores.
12
Regras de Equivalência
●
●
Informam que a equivalência dentre determinados pares de fbfs.
Nota:
R ⇔ S é uma tautologia e R pode ser substituída por S a
qualquer momento sem a mudança de seu valor lógico.
.
13
Regras de Inferência
●
●
Informam que uma ou mais fbfs contidas na primeira coluna
de regras fazem parte de uma sequência de demonstração.
Pode-se então adicionar uma nova fbf na sequência,
substituindo a anterior pela sua correspondente
.
14
Exercícios
15