Problemas de metrização de espaços topológico

METRIZAÇÃO DE ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
Julio Cezar de Oliveira Andrade¹, Clayton Suguio Hida¹, Alexandre
Gimenez Alvarez².
Sônia R. L. Garcia (orientadora)
Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo
Objetivos
O objetivo principal deste trabalho é
desenvolver um estudo das propriedades que
um espaço topológico deve satisfazer para que
se possa garantir a existência de uma métrica
sobre ele de forma que a topologia induzida por
esta métrica seja a topologia do espaço dado.
Métodos
Foram realizados seminários semanais com
exposição do conteúdo previamente estudado.
Durante cada exposição foram discutidos os
novos conceitos apresentados.
Resultados
Um espaço métrico é um conjunto M munido de
uma função d chamada distância que a cada
par de pontos de M associa um número real
não
negativo,
satisfazendo
as
três
propriedades que generalizam a noção de
distância euclidiana usual: simetria, não
degenerescência e desigualdade triangular.
Um espaço topológico é um par (X, T) formado
por um conjunto X e um subconjunto T do
conjunto das partes de X (que será o conjunto
dos abertos de X) satisfazendo as seguintes
propriedades: o conjunto vazio e o conjunto X
pertencem a T, uniões quaisquer de elementos
de T pertencem a T, e intersecções finitas de
elementos de T pertencem a T.
Dizemos que um espaço topológico (X, T) é
metrizável se existe uma função distância em X
cuja topologia induzida seja equivalente à
topologia do espaço (X,T). Todo espaço
métrico é um espaço topológico, mas a
recíproca não é verdadeira. Um exemplo
clássico de que a recíproca não é verdadeira é
o espaço topológico conhecido como a reta de
Sorgenfrey.
O estudo de propriedades topológicas como os
axiomas de separação e de propriedades
associadas aos axiomas de enumerabilidade
permitem entender como essas propriedades
se relacionam com a metrização de um espaço
topológico.Esse estudo é coroado com o
enunciado e a demonstração do teorema de
Urysohn que dá condições suficientes para que
um espaço topológico seja metrizável.
Conclusões
Para entender a prova do teorema de Urysohn,
que garante que todo espaço topológico regular
que satisfaz o segundo axioma
de
enumerabilidade é metrizável, entramos em
contato com diversos conceitos matemáticos,
aprofundando nossa formação. A discussão do
problema inicialmente no caso de exemplos
particulares permitiu o desenvolvimento de uma
familiaridade com o tema que facilitou o
entendimento da teoria.
Referências Bibliográficas 1
[1] Espaços Métricos. E. L. Lima.
Projeto
Euclides, IMPA, 2005.
[2] Elementos de Topologia Geral. 2a. Edição.
E. L. Lima. Livros Técnicos e Científicos,
1976.
[3] Topologia Geral. O. T. Alas, L. R. Junqueira,
A. H. Tomita, M. D. Passos. (Apostila).
[4] General Topology. J. L. Kelley. SpringerVerlag, Graduate texts in mathematics,
1975.
[5] Topology. J. Dugundji. Allyn and Bacon,
Allyn and Bacon Series in advanced
Mathematics, 1966.
1-Bolsistas do programa “Ensinar com Pesquisa” da PróReitoria de graduação USP 2- Bolsista do CNPQ