colégio israelita brasileiro

TUTORIAL – 1B
Data:
Aluno (a):
Série: 3ª
Ensino Médio
Turma:
Equipe de Matemática
Matemática
Divisibilidade
Divisores de um número natural são todos os números naturais que ao dividirem tal número,
resultarão em uma divisão exata, isto é, com resto igual a zero.
Antes de começar a fazer os exercícios, vamos fazer uma pequena revisão dos critérios de
divisibilidade:
1. Um número é divisível por 2 quando ele é par, isto é, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.
Exemplo: 24, 542, 100008.
2. Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é
divisível por 3.
Exemplo: 72 é divisível por 3 pois 7 + 2 = 9, que é divisível por 3.
3. Um número é divisível por 4 quando terminar em 00 ou seus dois últimos algarismos formarem
um número divisível por 4.
Exemplo: 1500 é divisível por 4 pois termina em 00 : 2624 também é divisível por 4 pois 24 é divisível
por 4.
4. Um número é divisível por 5 quando o algarismo das unidades for 0 ou 5.
Exemplo: 125 é divisível por 5 pois termina em 5 ; 120 é divisível por 5 pois termina em 0.
5. Um número é divisível por 6 quando for divisível simultaneamente por 2 e por 3.
Exemplo: 420 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3.
6. Um número é divisível por 8 quando terminar em 000 ou seus 3 últimos algarismos formarem
um número divisível por 8.
Exemplo: 2000 é divisível por 8 pois termina em 000 ; 3184 também é divisível por 8, pois 184 é
divisível por 8.
7. Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é
divisível por 9.
Exemplo: 423 é divisível por 9, pois 4 + 2 + 3 = 9, que é divisível por 9.
8. Um número é divisível por 10 quando termina em 0.
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Exemplo: 10, 100, 1000, 150, 200 são números divisíveis por 10 pois terminam em zero.
Números Primos
Os números que admitem apenas dois divisores (ele próprio e 1 ) são chamados de números primos.
Exemplos :
a) 2 é um número primo, pois D(2) = { 1,2}
b) 3 é um número primo, pois D(3) = { 1,3}
c) 5 é um número primo, pois D(5) = { 1,5}
d) 7 é um número primo, pois D(7) = { 1,7}
e) 11 é um número primo, pois D(11) = { 1, 11}
Obs. : O conjunto dos números primos é infinito.
P = { 2,3,5,7,11,13,17,19,....}
Como reconhecer se um número é primo?
O matemático e astrônomo grego Eratóstenes, que viveu há cerca de 2.200 anos, inventou um método
que permite obter os números primos naturais. Esse método é conhecido, hoje como Crivo de
Eratóstenes.
Dispomos os números numa tabela e eliminamos os números que não são primos :
inicialmente eliminamos o 1, que não é primo.
2 é primo, mas os outros múltiplos de 2 não são primos e devem ser eliminados.
3 é primo ,mas os outros múltiplos de 3 não são primos por isso devem ser eliminados .
seguindo-se o mesmo raciocínio para 5, 7 e 11 eliminamos os múltiplos de cada um deles.
Os números que restaram e estão circulados são os primos.
Modo prático de reconhecer se um número é primo
a) O número é par:
O único número par que é primo é o 2. Os outros não são primos.
b) O número é ímpar:
Dado um número ímpar, verificamos se esse número é primo dividindo-o, sucessivamente pelos
números primos (3,5,7,11,17...) , até o quociente seja menor ou igual ao divisor.
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Exemplo:
Verificar se o número 43 é primo:
43: 3 = 14 resto 1 (14 é maior que 3)
43 : 5 = 8 resto 3 ( 8 é maior que 5)
43 : 7 = 6 resto 1 ( 6 é menor que 7)
- nenhuma das divisões é exata ;
- o quociente 6 é menor que o divisor 7 ;
- logo, 43 é primo.
Números Compostos
Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
Exemplos :
a) 4 é um número composto, pois D(4) = { 1,2,4}
b) 6 é um número composto, pois D(6) = { 1,2,3,6}
c) 8 é um número composto, pois D(8) = { 1,2,4,8}
DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS
Um número composto pode ser indicado como um produto de fatores primos, ou melhor, um número
pode ser fatorado
Exemplo :
140 I 2
070 I 2
035 I 5
007 I 7
001
Procedimentos
Escrevemos o número à esquerda de uma barra vertical.
Dividimos o número (140) pelo menor número primo possível. Neste caso, é o 2 .
Voltamos a dividir o quociente, que é 70 , pelo menor número primo possível, sendo novamente 2.
O processo é repetindo até que o quociente seja 1.
Outros exemplos :
a) decompor em fatores primos o número 72
72 I 2
36 I 2
18 I 2
09 I 3
03 I 3
01
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b) Decompor em fatores primos o número 525
525 I 3
175 I 5
035 I 5
007 I 7
001
Quantidade de Divisores de um Número Natural
O conjunto formado por todos os divisores de um número natural é finito. Veremos agora como calcular
a quantidade de divisores. Primeiramente, iremos fatorar o número. Usaremos, como exemplo, o
número 72, cuja fatoração foi feita acima e quantidade de divisores iremos calcular.
Vimos que 72 = 23 . 32. Assim, 72 será dividido por potências de base 2 e por potências de base 3.
As potências de base 2 que o dividem são 20, 21, 22 e 23. Portanto, 72 pode ser dividido por 4 potências
de base 2.
As potências de base 3 que o dividem são 30, 31 e 32. Portanto, 72 pode ser dividido por 3 potências de
base 2.
Então, seu número de divisores será igual a 4 x 3, ou seja, 72 possui 12 divisores.
Os divisores de 72 são : D(72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}.
Regra Prática: Fatora-se o número cuja quantidade de divisores se deseja calcular. Adiciona-se 1
ao valor do expoente de cada fator primo e multiplica-se.
Exercícios
1. Dados os números 39, 140, 245, 384, 720 e 2600, assinale a FALSA :
a)
b)
c)
d)
e)
140, 384, 720 e 2600 são divisíveis por 4.
39, 384 e 720 são divisíveis por 3.
140, 245, 720 e 2600 são divisíveis por 5.
245 e 720 são divisíveis por 9.
384, 720 e 2600 são divisíveis por 8.
2. Qual é o maior número de dois algarismos divisível por 5 ?
a)
b)
c)
d)
e)
90
95
995
85
100
3. Qual é o menor número de três algarismos divisível por 3 ?
a)
b)
c)
d)
e)
123
101
102
111
321
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4. Um número é composto de três algarismos. O algarismo das unidades é 2 e o das centenas é 5.
Determine os possíveis valores do algarismo das dezenas para que esse número seja divisível por 3.
a)
b)
c)
d)
e)
0e3
2, 5 e 8
Apenas o algarismo 8
3, 6 e 9
2, 3 e 9
5. Este é um jogo de números cruzados, parecido com as palavras cruzadas. Você deverá substituir os
espaços por um algarismo, de modo que os números formados estejam de acordo com as seguintes
instruções :
Horizontais :
A – Um número em que cada algarismo é o sucessor do algarismo anterior.
B – O maior número de três algarismos que seja divisível por 2.
C – Um número menor que 300.
Verticais :
A – Um número que não é divisível por 2.
B – Um número divisível por 3, mas não por 2.
C – Um número de três algarismos iguais.
A
B
C
A
B
C
Após preencher totalmente o jogo das cruzadinhas, verifica-se que o algarismo que mais aparece nas
quadrículas é o
a)
b)
c)
d)
e)
9
8
7
5
1
6. Verifique as afirmativas abaixo :
a) O número 127 é primo.
b) O número 143 é primo.
c) O número 5124 é primo.
d) O número 161 é divisível por 7.
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São verdadeiras :
a)
b)
c)
d)
e)
As afirmativas a e d
Apenas a afirmativa d
Apenas a afirmativa a
Todas as afirmativas
As afirmativas b e d
7. Pedro mora no prédio de número 2168, tem 61 anos e 315 reais em sua conta bancária. Ele mora no
apartamento 203 e sua sogra mora no mesmo prédio, no apartamento 103. Ele tem 427 amigos virtuais
e sua meta é chegar a 1111. Casou-se no ano de 2001 com o grande amor de sua vida.
Dos números que aparecem no texto acima, podemos afirmar que são primos
a)
b)
c)
d)
e)
os números 61, 203 e 2168.
os números 61 e 203.
os números 61, 315 e 1111.
os números 1111, 203 e 427.
os números 203, 2001 e 1111.
8. Quatro amigos, após conversarem a respeito de suas idades, chegaram à conclusão de que as
mesmas eram representadas por números inteiros compostos. Assim, a opção que pode representar as
idades dos quatro será:
a)
b)
c)
d)
e)
20, 21, 22 e 23 anos
16, 18, 19 e 22 anos
15, 16, 21 e 27 anos
18, 22, 24 e 29 anos
15, 21, 27 e 31 anos
9. Quantos divisores naturais possui o número 200?
a)
b)
c)
d)
e)
9
10
11
12
18
10. Ao calcularmos a quantidade de divisores naturais de cada um dos seguintes números : 12, 120,
150 e 1.000.000, verificaremos que
(A) o número de divisores naturais de 120 é 10 vezes o número de divisores naturais de 12
(B) a soma da quantidade de divisores naturais de 12, 120 e 150 será maior do que a quantidade de
divisores naturais de 1.000.000
(C) dos quatro números, quem tem mais divisores naturais é o 150
(D) o número de divisores naturais de 150 é o dobro do número de divisores naturais de 12
(E) o número 1.000.000 possui mais de 50 divisores naturais
a) 12
b) 150
c) 1.000.000
d) 120
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Respostas:
1) (D) Observe : Divisíveis por
2 : 140, 384, 720 e 2600.
3 : 39, 384 e 720.
4 : 140, 384, 720 e 2600.
5 : 140, 245, 720 e 2600.
6 : 384 e 720.
8 : 384, 720 e 2600.
9 : 720.
10 : 140, 720 e 2600.
2) (B)95 ;
3) (C)102 ;
4) 2, 5 e 8, que formariam os respectivos números 522, 552 e 582.
5) (B) 8
A
6
B
7
C
8
9
9
8
1
5
8
A
B
C
6) (A)
a) O número 127 é primo? (R: sim)
b) O número 143 é primo? (R: não)
c) O número 5124 é primo (R: não) (é par)
d) O número 161 é divisível por 7 (R: sim)
7) (B) Os números que são primos: 61 e 103
8) (C) 15, 16, 21 e 27 anos
9) (D)12 divisores.
10) (D) 12 possui 6 divisores ; 150 possui 12 ; 1.000.000 tem 49 ; 120 tem 16 divisores.
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