Aula_17

Dhiego Andrade
Ricardo Ferreira Paraizo
www.sxc.hu
e-Tec Brasil – Matemática Instrumental
Aula 17
Qual é a chance?
Meta
Apresentar conhecimentos elementares de Probabilidade.
Objetivos
Ao concluir esta aula, você deverá ser capaz de:
1. identificar o que é Evento e Espaço amostral em uma
situação;
2. resolver problemas simples de Probabilidade.
Pré-requisitos
Para um bom desempenho nas atividades desta aula, é
bom ter à mão a Aula 6, sobre porcentagem. Em alguns
momentos, você poderá sentir necessidade de consultá-la
e relembrar alguns cálculos. Também vale rever a fórmula
de Combinação e Arranjos simples, apresentada na aula
passada (16).
Você já jogou na mega-sena? Sabe qual a sua chance de ganhar um jogo marcando
421
Aula 17 – Qual é a chance?
6 números num cartão? O assunto que vamos estudar agora, que é Probabilidade,
Ricardo Ferreira Paraizo
vai ajudá-lo a calcular essa chance.
Figura 17.1: Você já pensou qual é a probabilidade de ganhar na mega-sena?
A probabilidade não consiste somente em analisar possibilidades de ganhar jogos.
Ela tem aplicações notáveis em outras ciências, como:
• Biologia (principalmente em genética) – por meio do cálculo de probabilidades
é possível saber as chances de uma criança ter olhos azuis ou manifestar uma
determinada doença genética, por exemplo.
• Finanças – os bancos têm setores inteiros dedicados a calcular quais são
as chances de retorno de financiamentos e investimentos. Afinal, algo que
bancos e instituições financeiras realmente não desejam é tomar um prejuízo,
concorda?
• MARKETING – empresas têm setores de marketing que estudam quais as
chances de maior sucesso para seus produtos e sua marca. Por exemplo, uma
loja de produtos esportivos provavelmente terá mais chances de vendas se
estiver próxima a clubes e academias de ginástica.
O cálculo da probabilidade permite-nos encontrar um número que mostra a chance
de ocorrência do resultado favorável num experimento aleatório.
MARKETING
Em resumo, é o conjunto
de atividades que
visam garantir espaço
no mercado para um
determinado produto ou
empresa, por exemplo
por meio de propagandas,
preços competitivos etc.
Parece complicado? Então vamos com calma, inicialmente, aprendendo alguns
conceitos básicos necessários para você poder entender melhor esse assunto.
Conceitos iniciais
Nesta seção, que antecede o cálculo da probabilidade, você aprenderá os
seguintes conceitos:
• experimento aleatório;
• espaço amostral;
• evento.
Estes são conceitos fundamentais para o que você verá na sequência, ou seja, o
cálculo de probabilidade.
O que é experimento aleatório?
O primeiro conceito importante de você aprender para entender probabilidade é
experimento aleatório.
Experimento aleatório são ações que, repetidas da mesma maneira, produzem
resultados diferentes. Por exemplo:
a. Abandonar um dado e anotar o número da face que ficará voltada para cima.
A cada lançamento, o dado poderá cair com um número diferente voltado para
cima, sem que possamos prever qual seja.
Ricardo Ferreira Paraizo
e-Tec Brasil – Matemática Instrumental
422
Figura 17.2: Qual será a probabilidade de sair o número 6 na face voltada para cima?
não há nada que determine que uma moeda cairá com cara ou coroa para cima
Ricardo Ferreira Paraizo
– apenas o acaso.
Figura 17.3: Cara ou cora?
Outro conceito importante que você precisará aprender antes de mergulharmos
nas probabilidades é de espaço amostral. Veja a seguir!
Espaço amostral ( S )
Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento.
Por exemplo: em um lançamento de dados, o número do espaço amostral é 6, pois
Mateusz Atroszko
as possibilidades são de que o resultado seja 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
Fonte: www.sxc.hu
Figura 17.4: Jogue um dado. Que número sairá?
No caso do lançamento de um dado, podemos classificar o espaço amostral como
equiprovável. Isso porque todos os elementos deste espaço têm a mesma chance
de ocorrer num experimento aleatório (há a mesma chance de sair o 1 do que de
sair o 6, por exemplo).
Outro exemplo de espaço amostral equiprovável é o lançamento de moedas – há
a mesma chance de cair cara do que de cair coroa!
423
Aula 17 – Qual é a chance?
b. Lançar uma moeda e observar a face de cima. Do mesmo modo que o dado,
Atenção
Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um
experimento.
O número de elementos do espaço amostral (número do espaço amostral, como
você verá mais adiante) é obtido contando o número de elementos do conjunto
do espaço amostral.
Evento (E)
É o conjunto dos resultados favoráveis em um experimento. Por exemplo, se você
precisa tirar um quatro ou um ás (de qualquer naipe) para ganhar um jogo de
baralho, estas cartas são o seu evento favorável.
Ivaylo Georgiev
e-Tec Brasil – Matemática Instrumental
424
Fonte: www.sxc.hu
Figura 17.5: Tirar um quatro quando é essa a carta de que você precisa é um resultado
favorável, ou seja, um evento.
Repare que o conjunto de possibilidades de cartas que você poderia tirar
seria todo o baralho. Ora, se o seu evento (quatro e as) estão dentro do seu
conjunto de cartas possíveis, podemos concluir que EVENTO é um subconjunto
do espaço amostral.
Atenção
O número de elementos do Evento é obtido contando o número de elementos
do conjunto evento.
Atividade
1
Atende ao Objetivo 1
Ricardo Ferreira Paraizo
Determine o espaço amostral e o evento nos itens a seguir:
i) No sítio de Carlitos, há 8 pés de
eucalipto. Um agrônomo verificou que 3
pés estão com uma certa doença. Carlitos
cortou 1 pé de eucalipto, ao acaso, sem
saber exatamente se a planta estava com a
referida doença.
}
E={
}
Ricardo Ferreira Paraizo
S={
ii) Em uma fazenda, há um total de 660
gados. Destes, 300 receberam uma vacina
“A” e estão protegidos contra uma praga
perigosa.
S={
}
E={
}
Aula 17 – Qual é a chance?
425
Ricardo Ferreira Paraizo
opinião pública.
Priscila, mas se esqueceu do número do telefone. Ela se lembra apenas de que o número
é formado por sete algarismos e de que os
três primeiros são 8, 6 e 9, nessa ordem.
}
E={
}
iv) Em uma turma do pós-médio de uma
escola que tem 33 alunos, o professor queria
sortear um aluno para ir ao quadro apresentar
um exercício de Matemática.
S={
}
E={
}
Vivek Chugh
IPESPE
Instituto de Pesquisas
Sociais, Políticas e
Econômicas. Formado por
um grupo de profissionais,
como: sociólogos,
economistas, cientistas
sociais e outros que
trabalham com foco em
pesquisas de mercado e
iii) Márcia precisa telefonar para sua prima
S={
Sigurd Decroos
e-Tec Brasil – Matemática Instrumental
426
v) Uma pesquisa realizada pelo IPESPE buscou conhecer o perfil
dos fumantes, para que fossem tomadas medidas antitabagismo.
O resultado da pesquisa foi publicado pela revista Veja de 3/6/98
e mostra que, num grupo de 1.000 pessoas, 170 fumam.
www.sxc.hu
S={
}
E={
}
resse musical mostrou que, em um grupo de
75 jovens, 70 gostam de música.
www.sxc.hu
S={
}
E={
}
Atividade
2
Atende ao Objetivo 1
Ainda em relação à Atividade 1, dê o número do espaço amostral: N(S) e o número
do evento: N(E) de cada item.
i)
N(S) =
N(E) =
ii)
N(S) =
N(E) =
iii)
N(S) =
N(E) =
iv)
N(S) =
N(E) =
427
Aula 17 – Qual é a chance?
Ilker
vi) Uma investigação de uma rádio sobre inte-
e-Tec Brasil – Matemática Instrumental
428
v)
N(S) =
N(E) =
vi)
N(S) =
N(E) =
Agora, sim: Probabilidade
Probabilidade nada mais é do que a chance de, entre um dado número de
possibilidades (espaço amostral), um determinado evento acontecer. Calculamos
probabilidade pela seguinte expressão:
P(E)
n(E) → número do evento
=
n(S) → número do espaço amostral
Lemos: A probabilidade do evento E acontecer é igual à razão entre o número do
evento e o número do espaço amostral.
Para que fique mais claro o uso desta expressão, vamos a um exemplo:
Exemplo 1:
No sorteio de final de ano de uma loja, um bilhete será sorteado dentre 10.000
bilhetes. Sabendo que exatamente cem desses bilhetes foram colocados por
Denise, qual é a probabilidade de Denise ser sorteada?
Solução:
n(E) = 100
n(S) = 10 000
P(E) =
100
1
=
= 1%
10000 100
estivesse concorrendo, com as mesmas cartas, em outro sorteio simultâneo? Quais
seriam suas chances nos dois, somadas? Você vai aprender a somar probabilidades
após fazer as atividades a seguir!
Atividade
3
Atende ao Objetivo 2
No caminhão do Faustão, uma carta será sorteada dentre 20.000 cartas.
Sabendo que exatamente 50 dessas cartas foram enviadas por Cláudia, qual é a
probabilidade de Cláudia ser sorteada?
Carro
Casa
1 título de
Previdência
Privada
1 caminhão
de prêmios
2 mil reias
em compras
429
Aula 17 – Qual é a chance?
A probabilidade de Denise ser sorteada é, portanto, é de 1%. Mas, e se ela
e-Tec Brasil – Matemática Instrumental
430
4
Ricardo Ferreira Paraizo
Atividade
Atende ao Objetivo 3
Num teste de germinação que contou com o
empenho total dos pesquisadores envolvidos, um
técnico agropecuário plantou sementes de agrião.
Inicialmente, ele plantou 40 sementes e germinaram
30 destas sementes. Qual a probabilidade de
germinação num próximo experimento agrícola com
sementes de mesmas características iniciais?
Teorema da soma
A probabilidade de A e B acontecerem é a probabilidade de A UNIÃO com B, ou
seja:
P ( A ∪ B ) = P (A) + P ( B ) - P (A ∩ B)
Como mostrar esta equação? Veja:
Pela teoria de conjuntos, temos que:
n ( A ∪ B ) = n (A) + n ( B ) - n ( A ∩ B )
Lê-se: O número de elementos da união de A com B é igual ao número de
elementos de A mais o número de elementos de B menos o número de elementos
da interseção de A com B.
n(S) = número de elemento do espaço amostral, temos:
n(A ∪ B) n(A) n(B) n(A ∩ B)
=
+
−
n(S)
n(S) n(S)
n(S)
Como n(A∪B)/n(S) = P(A∪B), n(A)/n(S) = P(A), n(B)/n(S)=P(B), n(A?B)/
n(S)=P(A∩B)
Concluímos que:
P ( A ∪ B ) = P (A) + P ( B ) - P (A ∩ B)
Exemplo 1:
Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Sorteando-se uma das bolas,
qual a probabilidade de sair um número par ou um múltiplo de 3?
Figura 17.6: Qual é a probabilidade de sair uma bola com um número do conjunto {2, 3, 4, 6,
...,20}?
Solução:
Espaço amostral → S= { 1, 2, 3, 4, 5, ... , 20 } → n( S ) = 20
Eventos:
A → Ocorrer um número par → A={ 2, 4, 6, 8, 10, ... 20} → n(A) = 10
B → Ocorrer um número múltiplo de 3 → B={3, 6, 9,12, 15, 18} → n(B) = 6
A ∩ B → { 6, 12, 18 } → n ( A ∪ B ) = 3
431
Aula 17 – Qual é a chance?
Dividindo todos os elementos da equação por n(S)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) =
10 6 13
+
−
= 0, 65 = 65%
20 20 20
Obs: Se os eventos A e B são mutuamente exclusivos (A exclui B e B exclui A),
temos: P(A ∩ B)=0
Então: P (A ∪ B) = P(A) + P(B)
Exemplo 2:
No lançamento de um dado, qual a probabilidade de ocorrer um número menor ou
igual a 2 ou um número maior ou igual a 4?
Nino Satria
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Figura 17.7: Qual será a probabilidade de sair na face voltada para cima um número do
conjunto {1, 2, 4, 5, 6}?
Nesse caso, temos:
Espaço amostral → S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
n(S) = 6
Eventos
A → Ocorrer um número menor ou igual a 2 → A={1, 2} → n(A) = 2
B → Ocorrer um número maior ou igual a 4 → B={4, 5, 6} → n(B) = 3
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) =
2 3 5
+ − = 0, 83 = 83%
6 6 6
E se quiséssemos calcular a probabilidade de, em um lançamento de dados, sair 1,
2 ou 3, 4, 5, 6? Neste caso, estaríamos falando de eventos complementares. Por
que esse nome? Veja a seguir!
Eventos complementares são aqueles em que:
• as possibilidades do evento A e do evento B constituem todo o espaço
amostral;
• não há possibilidade de interseção entre o evento A e o evento B.
Em outros símbolos...
Se A ∩ B = φ e A ∪ B = S, então
Exemplo:
Pense no exemplo dos dados que acabamos de mencionar – lançamento de dados
em que se quer tirar 1, 2 ou 3, 4, 5, 6.
Evento A = {1, 2}
Evento B = {3, 4, 5, 6}
Ora, as possibilidades de um lançamento de dados são:
Lançamento = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Isso significa que:
A ∪ B = espaço amostral (S)
Além disso, não há interseção entre os dois conjuntos, A e B:
A∩B=φ
Logo, este caso é de cálculo de probabilidade de eventos que se complementam
de forma a abarcar todo o espaço amostral.
Se A e B são eventos complementares, vale então dizer:
P (A) + P (B) = 1
433
Aula 17 – Qual é a chance?
Eventos complementares
Exemplo:
A probabilidade de uma semente de feijão germinar é 17/20. Qual é a probabilidade de essa não germinar?
Ricardo Ferreira Paraizo
e-Tec Brasil – Matemática Instrumental
434
Figura 17.8: Que solo fértil! Parece que todas as sementes de feijão germinaram.
Solução:
P(A) = Probabilidade de a semente germinar
P(B) = Probabilidade de a semente não germinar.
P(A) + P(B) = 1 →
17
17
20 − 17 3
=
= 0, 15 = 15%
+ P(B) = 1 → P(B) = 1 −
→ P(B) =
20
20
20
20
Portanto, a probabilidade da semente não germinar é 15%.
Qual a probabilidade de uma semente germinar e chover ao mesmo tempo? Difícil?
Não se você souber calcular a probabilidade de eventos independentes...
Eventos independentes
A e B são independentes se a ocorrência de um deles não afetar a ocorrência do
outro.
Para fins de cálculo:
P (A ∩ B) = P(A).P(B)
Atenção
No caso de eventos independentes, a ocorrência dos dois eventos é simultânea.
Exemplo:
Supondo que, em um dia, num experimento veterinário verificou-se que a probabilidade de uma cobaia “A” sobreviver mais de 5 dias, com uma certa dieta
Rob Owen-Wahl
alimentar é 1⁄2 e de que outra cobaia “B”, companheira da primeira, sobreviva com
2
a mesma dieta é , qual a probabilidade de ambas sobreviverem com a mesma
5
dieta alimentar a partir daquela data?
www.sxc.hu
Figura 17.9: Quais são as chances de sobrevida das duas cobaias?
Solução:
Vamos assumir que os eventos são independentes, pois consideramos que
a sobrevivência de uma cobaia não interfere na sobrevivência da outra. A
probabilidade da cobaia “A” e da cobaia “B” sobreviverem é:
P(A ∩ B) = P(A) .P(B) =
1 2 1
. = = 0, 2 = 20%
2 5 5
Aula 17 – Qual é a chance?
435
e-Tec Brasil – Matemática Instrumental
436
Ricardo Ferreira Paraizo
Atividade
5
Atende ao Objetivo 2
Qual é a probabilidade de você acertar os seis números da sena com o cartão
ao lado?
07 - 15 - 20 - 21 - 23 – 29
6
Atende ao Objetivo 2
Andrew Jabs
Atividade
Em uma corrida, participam exatamente seis
cavalos. Uma aposta foi feita em três cavalos
para as três primeiras posições. Qual é a
probabilidade de essa aposta ser vencedora?
www.sxc.hu
Atividade
7
Atende ao Objetivo 2
Em um experimento veterinário, estão nove camundongos
rotulados 1, 2, 3, ... , 9. Selecionando-se conjuntamente dois
camundongos ao acaso (todos têm igual possibilidade de ser
escolhido). Quais as chances de o veterinário selecionar dois
camundongos de rótulos ímpares?
8
Atende ao Objetivo 2
Ricardo Ferreira Paraizo
Atividade
A probabilidade de um cavalo vencer três ou
menos corridas é de 58%; a probabilidade
de ele vencer três ou mais corridas é de
71%. Qual é a probabilidade de o cavalo
vencer exatamente três corridas?
Aula 17 – Qual é a chance?
437
e-Tec Brasil – Matemática Instrumental
438
Conclusão
Entender o conceito de probabilidade pode ser muito útil no seu dia-a-dia. Você
acabou de ver, na Atividade 5, quais são suas chances de ganhar na mega sena
– que são muito baixas. Há quem diga que, se você aplicar o dinheiro que gastaria
no jogo em uma poupança, por exemplo, ao final de cinco anos terá deixado de
perder uma boa quantia, afora o que ganhará com os rendimentos!
A probabilidade aplica-se ao seu campo de trabalho, por exemplo. Por meio dela,
é possível calcular quais são as chances de chover em uma determinada região.
De posse dessas informações, um técnico em agropecuária ou um engenheiro
agrônomo pode dizer quando é melhor semear a terra.
Ou, simplesmente, você pode sair de casa levando um guarda-chuva para
An
ton
io
Jim
én
ez
Alo
nso
não se molhar, o que também é importante...
www.sxc.hu
Multimídia
Veja um pouco mais sobre o assunto probabilidade no site:
http://qfojo.net/criar+/mat/probabil/introdu.htm. Este site fala um pouco
sobre a história da probabilidade e propõe mais alguns problemas de soluções
interessantes para você ver.
Além dele, há um site que mostra as probabilidades para ocorrência de chuva
nas diversas regiões do Brasil, do que estávamos falando ainda pouco. Visite:
http://www.agritempo.gov.br/publish/mapas/ProbChuva.
Resumindo...
• O cálculo da probabilidade permite-nos encontrar um número que
mostra a chance de ocorrência do resultado favorável num experimento
aleatório.
• Experimento aleatório são ações que, repetidas da mesma maneira,
produzem resultados diferentes, por exemplo: abandonar um dado e
anotar o número da face que ficará voltada para cima.
• Espaço amostral ( S ) é o conjunto de todos os resultados possíveis de
um experimento.
• Evento ( E ) é o conjunto de resultados favoráveis em um experimento.
É um subconjunto do espaço amostral.
• Probabilidade de um evento acontecer é a razão entre o número do evento e o número do espaço amostral em que ele se encontra. Em linguagem
matemática:
Probabilidade: P(E) =
(Lemos: A probabilidade do evento E é igual à razão entre o número do
evento e o número do espaço amostral)
Aula 17 – Qual é a chance?
439
e-Tec Brasil – Matemática Instrumental
440
• Teorema da soma diz que a probabilidade de um evento A ou de um
evento B acontecer é calculada pela probabilidade de A mais a probabilidade de B, menos a probabilidade de A interseção B. Ou seja, P (
A∪B ) = P (A) + P ( B ) - P (A∩B)
• Eventos complementares são aqueles em que não há sobreposição entre
os eventos e que a união dos eventos abarca todo o espaço amostral.
Em outras palavras, se A∩B = φ e A∪B = S; então, P (A) + P (B) = 1
• Eventos independentes: A e B são independentes se a ocorrência de um
deles não afetar a ocorrência do outro. Vale então dizer que P (A∩B) =
P(A).P (B)
Informações sobre a próxima aula
Continuando nossa jornada pela matemática, na próxima aula vamos fazer um
estudo básico sobre trigonometria.
Respostas das Atividades
Atividade 1
i) Espaço amostral (S) = {p1, p2, p3, p4,p5, p6, p7, p8.} → Conjunto representando
os 8 pés de eucalipto.
Evento (E) = poderia ser {p1, p2, p8} → Conjunto representando os 3 pés de
eucalipto doentes.
ii) Espaço amostral: representado por todos os gados da fazenda.
Evento: representado pelos gados que receberam a vacina A
iii) Espaço amostral: representado por todos os possíveis números de telefones
que Márcia pode ligar.
Evento: (Resultado favorável): Acertar o telefone de Priscila de primeira.
Evento: (Resultado favorável): Sortear Roberto por exemplo.
v) Espaço amostral: representado por todas as 1.000 pessoas entrevistadas.
Evento: representado pelos fumantes.
vi) Espaço amostral: representado por todas as 75 jovens.
Evento: representado pelos 70 jovens que gostam de músicas.
Atividade 2
i) N(S) = 8
N(E) = 3
ii) N(S) = 660
N(E) = 300
iii) N(S) = 10 000
N(E) = 1
iv) N(S) = 33
N(E) = 1
v) N(S) = 1000
N(E) = 170
vi) N(S) = 75
N(E) = 70
Atividade 3
n(E) → Número do evento (número dos resultados favoráveis → sair uma das 50
cartas de Cláudia.)
n(S) → Número do espaço amostral (número total de cartas → 20 000 cartas
enviadas)
P(E) → Probabilidade do Evento (probabilidade de sair a carta de Cláudia.)
n( E) = 50
n(S) = 20 000
n(E)
n(S)
50
P(E) =
20000
P(E) = 0, 0025
P(E) =
P(E ) = 0,25%
Assim, a probabilidade de Cláudia ser sorteada é de 0,25%. O cálculo da
probabilidade permite-nos encontrar um número que mostra a chance de
ocorrência do resultado favorável num experimento aleatório.
441
Aula 17 – Qual é a chance?
iv) Espaço amostral: representado por todos os 33 alunos do pós-médio.
e-Tec Brasil – Matemática Instrumental
442
Neste problema, o número foi os 0,25%, que mostrou a chance de ocorrência do
resultado favorável no experimento aleatório.
O resultado favorável é sortear uma das 50 cartas do caminhão e o experimento
aleatório é a ação de sortear uma das cartas.
Atividade 4
• Como o técnico plantou 40 sementes, este é o número do espaço amostral →
N(S) = 40.
• O total 30 foi de sementes germinadas, este é o número do evento → N(E) = 30
n(E)
n(S)
30 3
= = 0, 75 = 75%
P(E) =
40 4
P(E) =
Então, a probabilidade de germinação das próximas sementes com as mesmas
características iniciais será de 75%.
Atividade 5
Espaço amostral S: Todos os 6 números possíveis (seis números escolhidos entre
os sessenta)
Poderíamos ter, por exemplo:
07 – 15 – 20 – 21 – 23 – 29
05 – 41 – 33 – 42 – 24 – 51
11 – 03 – 01 – 02 – 03 – 04
12 – 15 – 27 – 37 – 51 – 60
16 – 28 – 33 – 57 – 60 – 61
13 – 07 – 05 – 03 – 08 – 17
Se assim continuarmos, teremos uma quantidade imensa de combinações possíveis.
O número de todos os possíveis cartões (espaço amostral) pode ser calculado,
usando a fórmula de combinação estudada na Aula 14 (Análise Combinatória):
C60,6
C60,6
C60,6
Evento E: Acertar todos os números de 1 cartão
n(E) = 1
P(E) =
1
n(E)
=
n(S) 50063860
P(E) = 0,0000000199745 = 0,00000199745%
Concluímos que a probabilidade de você acertar os seis números da mega sena
com o cartão apresentado é de 0,00000199745%, ou seja, mínima. Caso você um
dia seja um ganhador, considere-se um grande sortudo! Como pode ver, a chance
de 1 cartão ganhar é uma no meio de cinqüenta milhões sessenta e três mil e
oitocentos e sessenta possibilidades.
Atividade 6
Número do espaço amostral S : n( S ) = A6,3 → Arranjo de 6 elementos tomados
3 a 3.
Número do evento E: N(E)= 1
n!
(n − p)!
6!
A6,3 =
(6 − 3)!
6 ! 6.5.4.3 !
=
A6,3 =
= 120
3!
3!
1
n(E)
P(E) =
=
= 0, 0083
n(S) 120
P(E) = 0, 83%
An,p =
Temos que a probabilidade de essa aposta ser vencedora é 0,83%
Atividade 7
Número do espaço amostral S: n( S ) = C9,2 → Combinação de 9 elementos
tomados 2 a 2.
Números ímpares: 1, 3, 5, 7, 9
443
Aula 17 – Qual é a chance?
n!
(n − p)! p !
60 !
=
(60 − 6)! 6 !
19 14
60 !
60, 59, 58,, 57, 56, 55, 54 !
=
=
54 ! 6, 5, 4, 3, 2, 1
(54)! 6 !
= 50 063 860
Cn,p =
Número do evento E: N(E)= C5,2
444
e-Tec Brasil – Matemática Instrumental
Cn,p =
n!
(n − p)! p !
9!
9!
9.8.7 !
=
=
= 36
(9 − 2)!2! 7 !2! 7 !2.1
5.4.3!
5!
n(E) = C5,2 =
=
= 10
(5 − 2)!2! 3!2.1
n(E) 10 5
=
=
= 0, 27
P(E) =
n(S) 36 18
P(E) = 27%
n(S) = C9,2 =
Concluímos que a probabilidade de que, na seleção, ambos os camundongos
tenham rótulos ímpares é 27%.
Atividade 8
Seja o Evento A: O cavalo vence 3 ou menos corridas; P(A) = 58% = 0,58
Seja o Evento B: O cavalo vence 3 ou mais corridas; P(B) = 71% = 0,71
O evento A ∩ B: O cavalo vence exatamente as três corridas.
Queremos determinar P (A ∩ B).
Podemos observar que P(A ∪ B) = 1, pois A ∪ B = S (espaço amostral)
P(A ∪ B) = P(A) +P(B) – P(A ∩ B)
1 = 0,58 + 0,71 - P(A ∩ B)
P(A ∩ B) = -1 + 0,58 + 0,71
P(A ∩ B) = -1 + 0,58 + 0,71
P(A ∩ B) = 0,29 = 29%
A
B
5ª
2ª 4ª
6ª
1ª
3ª ...100ª
Então, a probabilidade de o cavalo vencer exatamente três corridas é de 29%.
Suponha que houve 100 corridas.
Probabilidade de vencer 1ª, 2ª, 3ª corridas é de 58%
Probabilidade de vencer 1ª, 2ª, 3ª, 4ª, 5ª, 6ª ... 100ª é de 71%
Referências bibliográficas
IEZZI Gelson. et al. Matemática. 6. ed. São Paulo: Atual 1997.
PAIVA, Manuel Rodrigues. Matemática v. 2. São Paulo: Moderna, 1995.