Caracterização de Espaços Normados de Dimensão Finita

Caracterização de Espaços Normados de Dimensão Finita
Frederick Lawton Azevedo, Prof. Dr. Waldemar Donizete Bastos, Campus de São José do Rio Preto,
Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas, Matemática, [email protected],
Vunesp.
Palavras Chave: Compacidade, dimensão, espaços normados.
Introdução
A Análise Funcional é o ramo da matemática
dedicado aos estudos dos espaços de funções.
Assim sendo requer o estudo de noções de Álgebra
Linear, de Topologia e Análise Clássica. Os espaços
de funções, objeto de estudo da Análise Funcional,
são espaços vetoriais normados. Neste trabalho
estudamos propriedades algébricas e topológicas de
tais espaços, mais gerais que aquelas estudadas
nos cursos básicos de Álgebra Linear e Topologia.
Objetivos
Um dos objetivos deste trabalho é estudar a
topologia dos espaços vetoriais normados. Uma vez
estudado a noção de conjunto compacto num
espaço vetorial normado, procuramos relacionar
esta noção com a noção de conjunto fechado e
limitado. O resultado principal do trabalho é o
seguinte :
Teorema: Em um espaço normado de dimensão
finita X, qualquer subconjunto M de X é compacto,
se e somente se M é fechado e limitado.
Material e Métodos
Os materiais usados foram livros didáticos e
científicos sobre análise funcional.
A metodologia empregada foi a pesquisa individual
com apresentações de seminários sob a supervisão
do professor orientador.
Resultados e Discussão
Inicialmente faz-se um estudo sobre conjuntos
fechados, a noção de espaços normados, dimensão
e compacidade desses espaços.
Um primeiro resultado é a seguinte proposição:
Proposição: Seja M um subconjunto não vazio de
um espaço normado e F o fecho
de M. Então M é fechado se, e somente se, M = F.
Na sequência provamos o seguinte resultado:
Lema: Seja {x1 , x2 ,..., xn } um conjunto de vetores
linearmente independentes de um espaço normado
X (de qualquer dimensão).
XXV Congresso de Iniciação Científica
Então existe um número c > 0, tal que para qualquer
escolha de escalares α1 , α2, ..., αn tem-se
|| α1. x1 + α2. x2 + ... + αn. xn || ≥ c.( |α1| +|α2|+ ...+|αn|)
De posse de todos os pré-requisitos fazemos a
demonstração do resultado principal do trabalho,
que por sua vez é um resultado muito útil no curso
de Cálculo Avançado:
Teorema: Em espaço normado X de dimensão finita,
qualquer subconjunto M de X é compacto se, e
somente se, M é fechado e limitado.
Observemos que o resultado anterior não é válido
para espaços normados de dimensão infinita. Um
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exemplo é o espaço l que tem dimensão infinita e
construímos nesse espaço um subconjunto fechado
e limitado que não é compacto.
Conclusões
A constatação da compacidade de um conjunto via
sequências ou via condição de Heine-Borel pode ser
trabalhosa. Sendo o espaço um espaço normado de
dimensão finita basta verificar o fechamento e a
limitação para concluir a compacidade, condições
possivelmente mais fáceis de serem verificadas.
Agradecimentos
Agradeço ao meu orientador e a meu colega de
estágio
pela
colaboração
e
apoio
no
desenvolvimento desse trabalho.
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Kreyszig, E, Introductory Functional Analysis with Applications.
Nova Iorque: John Wiley e Sons, 1978.