Cap 8 - Distribuições Amostrais e Estimativas

ESTATÍSTICA I
Cap 8 – DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL E ESTIMATIVA
Prof Me Aloizio Magrini
ÍNDICE
1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................................2
2. PRINCIPAIS CONCEITOS ..................................................................................................................................2
2.1. POPULAÇÃO ..................................................................................................................................................2
2.2. AMOSTRA ......................................................................................................................................................2
2.3. AMOSTRAGEM................................................................................................................................................2
2.4. AMOSTRAGEM ALEATÓRIA ..............................................................................................................................2
2.5. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA OU INDUÇÃO ESTATÍSTICA ........................................................................................2
2.6. AMOSTRA ALEATÓRIA.....................................................................................................................................2
2.7. PARÂMETRO ..................................................................................................................................................2
2.8. ESTATÍSTICA OU ESTIMADOR ..........................................................................................................................2
2.9. ESTIMATIVA ...................................................................................................................................................3
3. DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS ..........................................................................................................................3
3.1. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS MÉDIAS ...........................................................................................................3
3.1.1. PROPRIEDADES (OU TEOREMAS) ............................................................................................................3
3.2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS FREQÜÊNCIAS RELATIVAS ................................................................................4
3.3. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE VARIÂNCIAS .......................................................................................................4
3.4. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA SOMA OU DIFERENÇA DE DUAS MÉDIAS ..............................................................4
3.5. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA SOMA OU DIFERENÇA DE DUAS FREQUÊNCIAS RELATIVAS ...................................5
3.6. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS MÉDIAS QUANDO A VARIÂNCIA DA POPULAÇÃO É DESCONHECIDA ......................5
4. ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS ......................................................................................................................5
4.1. PROPRIEDADES DE UM ESTIMADOR .................................................................................................................6
4.1.1. ESTIMADOR NÃO TENDENCIOSO .............................................................................................................6
4.1.2. EFICIÊNCIA DO ESTIMADOR ....................................................................................................................6
5. INTERVALO DE CONFIANÇA ...........................................................................................................................6
5.1. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA, VARIÂNCIA POPULACIONAL ( 2 ) CONHECIDA. ....................................7
5.2. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA, VARIÂNCIA POPULACIONAL ( 2 ) DESCONHECIDA. ..............................9
5.3. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÃO OU PROBABILIDADE ................................................................10
5.4. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA VARIÂNCIA..................................................................................................11
5.5. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA DESVIO PADRÃO.........................................................................................11
6. FERRAMENTA ESTATÍSTICA DESCRITIVA DO EXCEL ..............................................................................11
7. EXERCÍCIOS PROPOSTOS .............................................................................................................................13
7.1 – DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL ...........................................................................................................................13
7.2 – INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL ...........................................................................13
7.3 – INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÕES...........................................................................................14
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ESTATÍSTICA I
Cap 8 – DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL E ESTIMATIVA
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1. INTRODUÇÃO
Em capítulos anteriores estudamos as MEDIDAS DESCRITIVAS (POSIÇÃO, DISPERSÃO E FORMA) para uma
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS ou TABELA PRIMITIVA. Cabe lembrar que os dados de uma Distribuição de
Freqüências provêm de uma Tabela Primitiva, e que os dados da Tabela Primitiva normalmente provêm da
coleta de dados de uma AMOSTRA. Assim, já estamos habilitados a calcular as MEDIDAS que caracterizam uma
AMOSTRA.
Na seqüência dos capítulos anteriores, estudamos os principais MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE,
destacando que a ESTATÍSTICA INFERENCIAL, a parte da disciplina que estabelece as condições de
generalização das medidas amostrais para a população, está assentada sobre modelos matemáticoprobabilísticos.
A partir deste capítulo, estamos juntando as MEDIDAS ESTATÍSTICAS e os MODELOS PROBABILÍSTICOS, para
obtenção das DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS dos principais estimadores das características da população, o
que constitui a base das técnicas de inferência estatística.
2. PRINCIPAIS CONCEITOS
2.1. POPULAÇÃO
Conjunto de entes portadores de pelo menos uma característica em comum e que são passíveis de ser
observados, sob as mesmas condições, formando o universo de estudo. É o conjunto total de unidades
elementares de pessoas, objetos ou coisas, sobre as quais se deseja obter informações.
2.2. AMOSTRA
Um subconjunto finito de elementos extraído de uma população. Para ser REPRESENTATIVA, a amostra tem que
possuir as mesmas características da população de origem. A amostra é ALEATÓRIA, quando todos os
elementos da população têm a mesma chance de serem escolhidos.
2.3. AMOSTRAGEM
O processo de seleção de uma amostra da população.
2.4. AMOSTRAGEM ALEATÓRIA
O processo de seleção de uma amostra (normalmente por sorteio) que permite que todos os elementos da
população tenham a mesma chance de serem escolhidos, e que também todo subconjunto de n elementos
tenha a mesma chance de fazer parte da amostra.
2.5. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA OU INDUÇÃO ESTATÍSTICA
Processo de obtenção de informações sobre a população, a partir de resultados observados numa amostra.
2.6. AMOSTRA ALEATÓRIA
Considerando X uma variável populacional que se deseja estudar, uma amostra aleatória de X é o conjunto de
n variáveis aleatórias independentes (X1, X2,...Xn), de forma que cada uma delas possui a mesma
característica (ou distribuição de probabilidade) da variável populacional X.
2.7. PARÂMETRO
Uma MEDIDA DESCRITIVA (média, variância, proporção, etc.) associada à POPULAÇÃO.
2.8. ESTATÍSTICA OU ESTIMADOR
Uma MEDIDA DESCRITIVA (média, variância, proporção, etc.) associada à AMOSTRA.
a) Estimador para a Média Populacional μ
MÉDIA AMOSTRAL:
x
b) Estimador para a Variância Populacional 2
VARIÂNCIA AMOSTRAL:
xi
n
s2 
 ( x i  x) 2 .fi
n 1
c) Estimador para a Proporção ou probabilidade de um evento populacional P
x nro de casos favoráveis
FREQÜÊNCIA RELATIVA:
f  p̂  
n
nro total de casos
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d) Estimador para o Desvio Padrão Populacional 
DESVIO PADRÃO AMOSTRAL:
s
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s2
e) Estimador para a Soma ou Diferença de duas Médias Populacionais (μ1  μ2)
SOMA OU DIFERENÇA DE DUAS MÉDIAS AMOSTRAIS:
(x1  x 2 )
2.9. ESTIMATIVA
O valor numérico de um estimador.
3. DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
Considere todas as possíveis amostras de tamanho n que se pode extrair de uma determinada população.
Se para cada uma das amostras for calculado o valor de uma medida (ou estimador), tem-se uma
distribuição amostral desta medida ou estimador.
3.1. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS MÉDIAS
Queremos determinar qual é a distribuição amostral da média aritmética. Sabemos que a média aritmética
amostral é um estimador da média aritmética populacional. Como a média amostral é uma variável
aleatória, busca-se conhecer sua distribuição de probabilidade.
População: N elementos
X: Variável quantitativa
Parâmetros:
μ = E(X)
2 = V(X)
Amostra
(x1,x2,x3,..., xn)
Estatísticas
 xi
x
n
2
(
x

i  x)
s2 
n 1
X pode ser vista como uma variável aleatória,
se considerarmos a distribuição de freqüências
da população como uma distribuição de
probabilidades, a distribuição da população.
3.1.1. PROPRIEDADES (OU TEOREMAS)
1) A média da DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS MÉDIAS, denotada por μ , é igual à média populacional μ.
E[ x]  ( x)  
2) Se a população é infinita (ou muito grande) OU se a amostragem é com reposição, a VARIÂNCIA
AMOSTRAL DAS MÉDIAS é igual à razão da variância populacional pelo tamanho da amostra, ou seja, a
variância da média amostral é menor que a variância da população:
E[(x  ) 2 ]   2 ( x) 
2
n
3) Se a população é finita (N < 20n ou n>5% de N) OU se a amostragem é sem reposição, então a
variância da distribuição amostral das médias é dada por:
 2 ( x) 
2  N  n 


n  N 1
NOTA: Ao termo (N-n)/(N-1) denomina-se FATOR DE CORREÇÃO PARA POPULAÇÃO FINITA (FCPF).
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4) TEOREMA CENTRAL DO LIMITE: Se o tamanho da amostra for razoavelmente grande ( n  30 ), então a
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA pode ser aproximada pela DISTRIBUIÇÃO NORMAL.
Em outras palavras, se a população tem ou não DISTRIBUIÇÃO NORMAL com média μ e variância 2, então a
DISTRIBUIÇÃO DAS MÉDIAS AMOSTRAIS será normalmente distribuída com média μ e variância dada por:
para POPULAÇÃO INFINITA:
σ2
n
σ2  N  n 


n  N 1
para POPULAÇÃO FINITA:
3.2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS FREQÜÊNCIAS RELATIVAS
Queremos determinar qual é a distribuição amostral da freqüência relativa ou proporção. Seja X uma
população infinita, e seja p a probabilidade (ou proporção) para um certo evento de X. Assim, q = 1 – p é
a probabilidade do evento não ocorrer.
Seja (x1,x2,x3,..., xn) uma amostra aleatória de n elementos dessa população, e seja x o número de sucessos
nesta amostra. Identifica-se facilmente que X é uma variável aleatória com DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL, tendo
média=nxp e variância=nxpxq.
A DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA FREQÜÊNCIA RELATIVA p̂  f 
 x  np
Média  Ef   E  
p
n  n
x
terá por parâmetros:
n
 x  npq pq
Variância  Vf   V    2 
n
n  n
Para n  30 a DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA FREQÜÊNCIA RELATIVA f será NORMAL com parâmetros:
d
pq 

f  N p ;

n 

3.3. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE VARIÂNCIAS
Seja a VARIÂNCIA POPULACIONAL designada por 2 e a VARIÂNCIA AMOSTRAL designada por s2. Logo, s2 é o
estimador de 2. Pode ser demonstrado que a DISTRIBUIÇÃO de s2 tem parâmetros:
 
Média  E[s2]  σ2
Variância  V s2 
2σ4
n1
Prova-se também que s2 tem DISTRIBUIÇÃO QUI-QUADRADO com (n-1) graus de liberdade, ou seja:
(n  1) S2 d 2
 n1
2
Assim, a relação entre s2 e 2 é dada por uma DISTRIBUIÇÃO QUI-QUADRADO.
3.4. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA SOMA OU DIFERENÇA DE DUAS MÉDIAS
Desejamos identificar a distribuição amostral do estimador ( x 1  x 2 ) . Sabe-se que a distribuição amostral da
média é NORMAL com média = μ e variância = 2/n.
A soma ou diferença de duas médias terá também DISTRIBUIÇÃO NORMAL, com média igual à soma ou
diferença das médias populacionais e variância igual à soma das variâncias populacionais.
d 
2 2 
( x1  x 2 )  N 1  2; 1  2 

n1 n2 

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3.5. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA SOMA OU DIFERENÇA DE DUAS FREQUÊNCIAS RELATIVAS
Desejamos identificar a distribuição amostral do estimador (f1  f 2 ) . Sabe-se que a distribuição amostral da
freqüência relativa, considerando-se n  30, é NORMAL com média = p e variância = pq/n.
Considerando-se amostras independentes de duas populações, a soma ou diferença de duas proporções terá
distribuição NORMAL, com média igual à soma ou diferença das proporções populacionais e variância igual à
soma das variâncias populacionais.
d

p .q
p .q 
( f1  f2 )  N p1  p2 ; 1 1  2 2 
n
n2 
1

3.6. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS MÉDIAS QUANDO A VARIÂNCIA DA POPULAÇÃO É
DESCONHECIDA
Sabe-se que a distribuição amostral da média é NORMAL com média = μ e variância = 2/n, o que implica em
sua distribuição normal padronizada ser representada por:
Zi 
xi  

n
Como não se conhece o valor da variância populacional 2, e portanto não se conhece também o valor do
desvio padrão populacional , uma possibilidade é substituir o desvio padrão populacional pelo seu
estimador, o desvio padrão amostral. Neste caso, passamos a ter a estatística T:
Ti 
xi  
s
n
que possui DISTRIBUIÇÃO DE STUDENT com (n-1) graus de liberdade, e portanto:
t n 1 
xi  
s
n
4. ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
Trata-se da questão de avaliar parâmetros populacionais a partir de operações com os dados de uma
amostra. É um raciocínio tipicamente indutivo, onde se generalizam resultados obtidos na parte (amostra)
para o todo (população).
No início deste capítulo foi estabelecido que uma ESTATÍSTICA é normalmente uma MEDIDA DESCRITIVA (Média,
Desvio Padrão, etc.), que é função dos elementos contidos na amostra. Quando uma ESTATÍSTICA é usada
para avaliar algum PARÂMETRO DA POPULAÇÃO, é também chamada de ESTIMADOR.
Desta forma, pelo fato de depender dos particulares elementos selecionados na amostra, o ESTIMADOR é
também uma VARIÁVEL ALEATÓRIA.
Uma vez realizada uma amostragem, ao valor calculado para o estimador nesta amostra, dá-se o nome de
ESTIMATIVA, conforme definido na seção 1.9.
Há dois tipos de ESTIMATIVAS:
 ESTIMATIVA PONTUAL: É o valor obtido por cálculo de uma medida numa amostra retirada da população de
interesse.
 ESTIMATIVA INTERVALAR: A estimativa está incluída num intervalo, considerando um certo grau de acerto,
determinado INTERVALO DE CONFIANÇA, que contém a estimativa pontual. Note-se que, ao se definir um
grau de acerto, automaticamente fica também definido um grau de erro, ao qual se dá o nome de margem de
erro da estimativa (em pontos percentuais), e que resulta em um erro de estimativa ou erro amostral (em
unidades da variável).
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4.1. PROPRIEDADES DE UM ESTIMADOR
Por se tratar de uma VARIÁVEL ALEATÓRIA, um estimador pode assumir valores segundo uma distribuição de
probabilidades. A principal característica que um estimador deve apresentar é a de que, em média, ele seja
igual ao parâmetro populacional que se deseja estimar. De outra forma:
4.1.1. ESTIMADOR NÃO TENDENCIOSO
Seja T um estimador do parâmetro . O estimador T é não-tendencioso (ou não-viesado) se E[T] = .
Na prática, normalmente retiramos apenas uma amostra da população e produzimos através dela um único
valor para o ESTIMADOR: uma ESTIMATIVA. Ainda que nosso estimador seja não tendencioso, o valor da
estimativa pode ser diferente do valor do parâmetro populacional. É desejável portanto, que nosso
estimador tenha variância pequena, para reduzir a chance de nossa estimativa se afastar muito do valor do
parâmetro.
4.1.2. EFICIÊNCIA DO ESTIMADOR
Sejam T1 e T2 dois estimadores não tendenciosos de um parâmetro, sendo V[T1] < V[T2]. Neste caso, T1 é
dito mais eficiente que T2, e a eficiência relativa de T1 em relação a T2 é dada por:
ef (T1, T2 ) 
V[T2 ]
V[T1]
Os conceitos de TENDÊNCIA e EFICIÊNCIA são bem ilustrados através da figura abaixo, onde T1 e T2 são rifles
não tendenciosos e T3 é tendencioso. Embora T1 e T2 sejam não tendenciosos, T1 é mais eficiente do que
T2.
Usando as DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS, é possível avaliar probabilisticamente, o erro que se está cometendo
por se usar uma amostra e não toda a população. Conforme anteriormente mencionado, a este erro dá-se o
nome de ERRO AMOSTRAL ou ERRO DE ESTIMATIVA, e seu cálculo fica evidenciado na estimativa em forma de
INTERVALO DE CONFIANÇA.
5. INTERVALO DE CONFIANÇA
Trata-se de uma das técnicas para inferência estatística, onde a partir de um intervalo de confiança,
construído com os elementos da amostra, pode-se inferir sobre um parâmetro populacional.
Devido à variabilidade amostral, as possíveis amostras aleatórias de mesmo tamanho retiradas da mesma
população terão medidas diferentes. Assim, surge naturalmente a pergunta: qual a confiabilidade de uma
estimativa pontual? O intervalo de confiança foi instituído para definir de forma objetiva a credibilidade
da estimativa.
INTERVALO DE CONFIANÇA é o intervalo de valores que contém o parâmetro da população, com uma
determinada probabilidade de acerto, e é construído a partir de uma amostra aleatória retirada da
população.
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Exemplificando o INTERVALO DE CONFIANÇA para a MÉDIA.
Se o tamanho da amostra ( n ) for suficientemente grande, a média de uma amostra aleatória terá distribuição
normal, com média igual à da população, e variância igual à variância da população dividida por n, conforme
previamente estabelecido neste capítulo, seção 3.1.
Da distribuição normal padrão, podemos então concluir, por exemplo, que a probabilidade da média estar
incluída no intervalo de dois desvios padrão ao redor da média é de 95,45%, conforme a seguir
demonstrado:
P( x  2 a    x  2 a )  P(Z  2)  P(Z  2) , onde
a significa o desvio padrão da amostra.
P( x  2 a    x  2 a )  0,9772  0,02275  0,9545
P( x  2 a    x  2 a )  95,45%
 De outra maneira, podemos dizer que 95,45% das médias amostrais se situam ao redor de mais ou
menos dois desvios padrão da média.
 Portanto, em 95,45% das vezes em que repetirmos a amostragem aleatória e calcularmos sua média, a
média populacional estará incluída no intervalo de mais ou menos 2 desvios padrão ao redor da média
amostral. Reciprocamente, em 4,55% das vezes, a média populacional não estará incluída no intervalo
definido por dois desvios padrão.
O INTERVALO DE CONFIANÇA neste caso define o percentual de todas as amostras possíveis que satisfazem à
margem de erro (ou erro de estimativa) de 2 desvios padrão amostral. Adicionalmente, fica bastante claro
que o erro da estimativa ou margem de erro, depende fundamentalmente da amostra.
Utilizando raciocínio semelhante ao desenvolvido acima, podemos calcular, no caso da média, o erro da
estimativa ou margem de erro, para alguns níveis de confiabilidade de interesse, conforme abaixo ilustrado.
IC ( 1 - α )
α
( 1 - α/2 )
Zα/2
90,00%
10,00%
95,00%
1,64
95,00%
5,00%
97,50%
1,96
95,50%
4,50%
97,75%
2,00
97,50%
2,50%
98,75%
2,24
99,00%
1,00%
99,50%
2,58
5.1. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA, VARIÂNCIA POPULACIONAL ( 2 ) CONHECIDA.
_
Conforme já estabelecido, o estimador da média populacional (  ) é a média amostral ( x ), e a distribuição
de probabilidade das médias é NORMAL com parâmetros:
para população infinita
_ d

σ2 
x  N μ ;

n 

ou
para população finita
_ d

σ 2  N  n  
x  N μ ;



n  N  1  

Logo, para o caso de populações infinitas, a variável padronizada de x será:
_
x  μ
Z 
σ
n
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Fixando-se um nível de confiança (1  ) , temos a seguinte representação da situação:
ou seja:



P  z
 Z  z   1 
2
2

_
x  
Substituindo-se o valor de Z, tirado de Z 
para o caso de POPULAÇÕES INFINITAS, e resolvendo-se

n
para as duas ineqüações, temos:
_
_
 
  
  1 
P x  z .
  x z .
2 n
2 n 

Para fins de cálculo, a utilização da fórmula é muito simples: basta fixar o nível de confiabilidade (1  ) e
portanto também  , e observar na tabela da DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO, o valor da abscissa z

para a
2
_
  

probabilidade 1      1   . Com os valores da média amostral x , do desvio padrão da população  e
2 
2

do tamanho da amostra n, constrói-se o intervalo.
_
No caso de populações finitas, lembre-se que Z 
x  

n
POPULAÇÕES FINITAS se transforma em:
Nn
N1
e portanto o intervalo de confiança para
_
_
 
Nn
 
N  n 
P x  z .
.
   x  z .
.
 1 

2 n N1
2 n N  1 

Considerando a DISTRIBUIÇÃO NORMAL de probabilidades podemos calcular antecipadamente o valor da
abscissa para alguns níveis de confiabilidade de interesse, conforme indicado abaixo:
IC ( 1 - α )
α
( 1 - α/2 )
Zα/2
90,00%
10,00%
95,00%
1,64
95,00%
5,00%
97,50%
1,96
95,50%
4,50%
97,75%
2,00
97,50%
2,50%
98,75%
2,24
99,00%
1,00%
99,50%
2,58
Exemplo: A duração da vida de uma peça tem desvio padrão  = 5 horas. Foram amostradas 100 peças
observando-se a média de 500 horas. Construir o intervalo de confiança para a verdadeira duração
da peça, com um nível de confiabilidade de 95%.
Solução: temos que:
x  500 ;
=5;
n=100 ;
(1-α).100 = 95%
Da tabela acima retiramos o valor da abscissa Zα/2 como sendo 1,96 (para 97,5%) e substituindo os valores na
fórmula para população infinita obtemos a inequação:
, cujo cálculo resulta em uma margem de erro

5
5 
  95 % (ou erro de estimativa) de 0,98 horas.
P 500  1,96 .
   500  1,96 .
100
100 

Assim, o intervalo 500±0,98, ou [499,02 ; 500,98] contém a duração média da peça com 95% de confiança,
significando com isso que permanece uma chance de 5% de a real duração da peça não pertencer a este
intervalo.
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5.2. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA, VARIÂNCIA POPULACIONAL ( 2 ) DESCONHECIDA.
O processo de obtenção do intervalo de confiança neste caso, é bastante semelhante ao caso anterior. A
grande diferença é que, ao substituirmos a variância populacional pelo seu estimador, a variância amostral, a
_
variável normalizada resultante passa a ser constituída pelo quociente entre duas variáveis aleatórias: x e s ,
_
x μ
o que implica que a distribuição da variável t 
passe a ter DISTRIBUIÇÃO DE STUDENT com n-1 graus de
s
n
liberdade. Dessa forma, temos que:
Ou seja:



P  t
 t  t   1 
2
2

Substituindo o valor de t e resolvendo as ineqüações, temos então:
(população infinita)
_
_
 S
 S 
  1 
P x  t .
   x  t .
2
2
n
n 

ou então:
(população finita)
_
_
 S
Nn
 S
N  n 
P x  t .
.
   x  t .
.
 1 

2 n N1
2 n N  1 

d
onde t  t n 1 .
Considerando que os valores das abscissas (tα/2) da DISTRIBUIÇÃO “T” dependem agora do tamanho da
amostra (n) e do desvio padrão amostral, podemos calcular referido valor para alguns níveis de
confiabilidade de interesse e para alguns tamanhos usuais de amostra, conforme indicado abaixo:
IC ( 1 - α )
α
tα/2, n=10,gl=9
tα/2, n=20,gl=19
tα/2, n=30,gl=29
tα/2, n=50,gl=49
tα/2, n=100,gl=99
90,00%
10,00%
1,83
1,73
1,70
1,68
1,66
95,00%
5,00%
2,26
2,09
2,05
2,01
1,98
95,50%
4,50%
2,33
2,15
2,10
2,06
2,03
97,50%
2,50%
2,69
2,43
2,36
2,31
2,28
99,00%
1,00%
3,25
2,86
2,76
2,68
2,63
Exemplo: A amostra: 9; 8; 12; 7; 9; 6; 11; 6; 10; 9 foi extraída de uma população normal. Construir o intervalo
de confiança para a média ao nível de 95%.
Solução: Calculando a média aritmética e o desvio padrão da amostra, obtemos os seguintes resultados:
_
x  8,7
e
s=2
Considerando que (1-α) = 95% e g.l.= 9 (graus de liberdade=n-1) , da tabela acima retiramos o valor 2,26 para
a abscissa tα/2. Com tais valores, o erro de estimativa (ou margem de erro) é 1,43 e o intervalo de confiança
8,7±1,43 torna-se [7,27 ; 10,13], o qual contém a média da população com 95% de confiança.
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5.3. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÃO OU PROBABILIDADE
Na seção 3.2 foi estabelecido que o estimador para proporção ( p ) é a freqüência relativa ( f ), e a distribuição
de probabilidade das freqüências relativas é Normal com parâmetros:
d
p.q 

f  N p ;
para população infinita

n 

ou
d

p.q  N  n  
para população finita
f  N  p ;


n  N  1  

Assim, para o caso de populações infinitas, a variável padronizada de f é dada por:
Z
f  p
p.q
n
Fixando-se um nível de confiança 1   , temos a seguinte representação da situação:
Ou seja:



P  z
 Z  z   1 
2
2

Substituindo-se o valor de Z tirado de Z 
f  p
p.q
n
para o caso de populações infinitas, e resolvendo-se
para as duas ineqüações, temos:

 p.q
 p.q 
Pf  z .
 p f  z .
 1 

2
n
2
n 

(população infinita)
Para amostras grandes (n > 30), pode-se substituir os parâmetros da população p e q pelos seus
estimadores f e (1 – f) de forma que o intervalo de confiança torna-se:

 f.(1  f )
 f.(1  f ) 
Pf  z .
 p  f  z .
 1 


2
n
2
n


(população infinita)
e

(população finita)
 f .(1  f )  N  n 

f .(1  f )  N  n  
Pf  z .

  p  f  z ..

  1 


2
n
2
n
 N  1
 N  1 

Exemplo: Examinadas 500 peças de uma produção, encontrou-se 260 defeituosas. Construir um intervalo de
confiança a 90% para a verdadeira proporção de peças defeituosas.
(1- α)=90%
x 260
 0,52 . O valor da abscissa zα/2 pode ser obtido da tabela do
Assim, a proporção na amostra é f  
n 500
item 5.1 como sendo 1,645. Substituindo tais valores na fórmula encontramos:

0,52(1  0,52)
0,52(1  0,52) 
P  0,52  1,645
 p  0,52  1,645
 90%


500
500


Solução: Temos n=500;
x=260;
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e portanto P(0,4832  p  0,5568) = 90% , ou ainda o intervalo [ 48,32% ; 55,68%] (margem de 3,68%) contém
a verdadeira proporção de peças defeituosas, com uma confiança de 90%.
A maneira mais fácil de se calcular o intervalo de confiança é calcular primeiramente a margem de erro,
expressa neste caso por:
 f .(1  f )
0,52(1  0,52 )
Margem de Erro  z .
 1,645
 0,0368
2
n
500
Assim, o intervalo de confiança é obtido pelos limites f  erro, ou seja [0,52-0,0368 ; 0,52+0,0368] que fornece
o mesmo resultado acima [0,4832 ; 0,5568].
5.4. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA VARIÂNCIA
Na seção 3.3 foi estabelecido que s2 é o estimador de 2, e que s2 tem distribuição QUI-QUADRADO com (n-1)
graus de liberdade, ou seja:
d (n  1) s 2
(n  1) s 2 d
2


,
o
que
pode
ser
escrito
como


n

1
 n1
2
O intervalo será:
e portanto P(inf    sup )  1  
2
2
2
Substituindo-se os valores na fórmula acima temos:
 (n  1).s 2
(n  1).s 2
2
P



2
 2
 inf
sup


  1 


Exemplo: Suponha que uma amostra de 10 elementos, tenha revelado variância amostral igual a 4. Construir
o Intervalo de Confiança ao nível de 90%.
Solução: Temos n=10;
s2=4;
(1- α)=90%;
Consultando a tabela do Qui-Quadrado com gl=9, temos:
a) Para α=5%, temos  2sup =16,9190
2
b) Para α=95% temos  inf
=3,3251
Logo,
gl=(n-1)=9
94 
 94
P
 2 
  90 %
16
,
919
3
,3251 

e portanto P(2,13  2  10,81) = 90% , com a mesma interpretação dada aos intervalos anteriores.
5.5. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA DESVIO PADRÃO
Como o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, pode-se calcular o IC para a variância e depois extrair a
raiz quadrada dos limites do intervalo para obtenção do intervalo de confiança para o desvio padrão.
6. FERRAMENTA ESTATÍSTICA DESCRITIVA DO EXCEL
Agora, após o entendimento sobre o significado dos conceitos ERRO AMOSTRAL, ERRO DA ESTIMATIVA (ou
M ARGEM DE ERRO) e INTERVALO DE CONFIANÇA, estamos em condições de interpretar os resultados emitidos
pela ferramenta ESTATÍSTICA DESCRITIVA do Excel.
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Primeiramente, vamos enfatizar a diferença que existe entre uma Função de Planilha e uma Ferramenta no
Excel. Uma Função sempre retorna para dentro de uma célula da planilha, algum dos tipos de dados (número,
datas, texto) aceitos numa planilha do Excel, como um único resultado do instanciamento da função (esqueça
funçoes de matriz por enquanto). O resultado de uma função sempre é atualizado quando do recálculo de
uma planilha. Já o que o Excel chama de Ferramenta, normalmente requer um endereço de planilha a partir do
qual serão retornados vários resultados associados à tarefa a que se propõe a Ferramenta. Os resultados
retornados por uma Ferramenta não são atualizados quando do recálculo de uma planilha.
Para utilizar a Ferramenta Estatística Descritiva, é necessário primeiro instalar o Suplemento Ferramentas de
Análise. Através do Menu Ferramentas, opção Suplementos, o Excel oferece a instalação do suplemento
Ferramentas de Análise (só isso, sem menção a VBA). Após instalado este suplemento, quando do
acionamento da opção Ferramentas no Menu principal, deverá aparecer no Menu tipo cortina uma opção
intitulada Análise de Dados, que disponibiliza o pacote de ferramentas estatísticas do Excel.
Merece destaque o fato de as Ferramentas do Excel exigirem conjuntos de dados organizados em linhas ou
colunas. Isto significa que o formato de matriz que utilizamos para representar a Tabela Primitiva ou Rol nos
capítulos anteriores não é adequado para acionamento de ferramentas no Excel.
O fragmento de planilha abaixo, indica que os dados brutos provenientes da pesquisa sobre Idade dos Alunos,
foi arranjado na forma de banco de dados, com todos os resultados dos casos em uma única coluna, mais
especificamente no intervalo de células A2:A51. A ferramenta Estatística Descritiva foi acionada com
especificação de saída no intervalo iniciado pela célula C1. Na coluna F foram registradas as FUNÇÕES (e
FÓRMULAS) que a Ferramenta utilizou para emitir os 14 resultados mostrados nas linhas 3 a 16. Observa-se
que a Ferramenta assume os dados de entrada como provenientes de uma amostra (e não população), e
que a variância da população é desconhecida, tendo sido estimada pela variância amostral, conforme
demonstra a utilização da Distribuição t de Student na determinação do Erro de Estimativa.
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7. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
7.1 – DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL
1. Se a variável aleatória X tem distribuição normal com média μ(x) = 6 e desvio padrão (x) = 1,5, calcule
_
_
P( x  4), onde x é a média de uma amostra de nove elementos, retirada ao acaso desta população. (100%)
2. Uma amostra aleatória de cinco elementos é retirada ao acaso de uma população normal com média
_
μ(x)=30 e desvio padrão (x)=9 . Calcule P(28  x  31) . (29,02%)
_
_
3. Uma variável aleatória tem média μ(x)=15 e desvio padrão (x)=2. Calcule P(14  x  15,5) , onde x é a
média de uma amostra aleatória de 50 elementos, retirada desta população. (96,14%)
4. Uma variável aleatória x tem distribuição de Poisson com média μ(x)=5. Uma amostra de 100 elementos é
_
retirada ao acaso desta população. Calcule P( x  6) . (1,29%)
5. A carteira de títulos de uma corretora tem apresentado rendimento médio trimestral μ(x)=10% e desviopadrão (x)=2% .O administrador da carteira garante que qualquer grupo de 40 títulos escolhido ao acaso tem
rendimento médio trimestral superior a 9%. Qual a probabilidade de ele estar correto? (99,92%)
7.2 – INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL
6. Foram retiradas 25 peças da produção diária de uma máquina, encontrando-se para uma medida uma média
de 5,2 mm. Sabendo-se que as medidas têm distribuição normal com desvio padrão populacional 1,2 mm,
construir intervalos de confiança para a média aos níveis de 90%, 95% e 99%. ([4,81;5,59], [4,73;5,67],
[4,58;5,82])
7. De uma distribuição normal com 2 = 1,96, obteve-se a seguinte amostra: 25,2; 26,0; 26,4; 27,1; 28,2; 28,4.
Determinar o intervalo de confiança para a média da população, sendo α = 0,05 e α = 0,10. ([25,76;28,00],
[25,94;27,82])
8. Suponha que as alturas dos alunos de nossa faculdade tenham distribuição normal com  = 15 cm. Foi
retirada uma amostra aleatória de 100 alunos obtendo-se média=175 cm. Construir, ao nível de significância de
95% o intervalo para a verdadeira altura média dos alunos. ([172,06;177,94])
9. Dados n = 10, média amostral = 110 e S = 10, determinar os intervalos de confiança para a média
populacional, aos níveis de 90% e 95%. ([104,2;115,8], [102,84;117,16])
10. Uma amostra é composta pelos seguintes elementos: 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 11, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 15, 15.
Construir os intervalos de confiança para a média sendo: 1 - α = 97,5% e 1 - α = 75%. ([9,164;12,586],
[9,993;11,757])
11. Colhida uma amostra de 30 peças, forneceu os seguintes pesos:
250
265
267
269
271
275
277
281
283
284
287
289
291
293
293
298
301
303
306
307
307
309
311
315
322
319
324
328
335
339
Por meio da construção do intervalo de confiança, responder se esta amostra satisfaz à especificação pela qual
o peso médio deve ser 300 kg. (Adote α = 5%). ([288,33kg;304,93kg] a 95%)
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12. Em uma fábrica, colhida uma amostra de certa peça, obtiveram-se as seguintes medidas para os
diâmetros:
10
11
11
11
12
12
12
12
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
14
14
14
14
14
15
15
15
16
16
a) Estimar a média e a variância da população. (13,13 ; 2,05)
b) Construir um intervalo de confiança para a média sendo α = 5%. ([12,60;13,66])
13. Em quatro leituras experimentais de um "comercial" de 30 segundos, um locutor levou em média 29,2
segundos com uma S2 = 5,76 segundos ao quadrado. Construir os limites de confiança para a média,
considerando α=10%. ([26,38;32,02])
14. Construir intervalos de confiança para a média populacional, admitindo-se as seguintes distribuições
amostrais, ao nível de 95%.
a)
Classes
fi
0-5
2
15 - 18
8
18 - 21
9
10 - 15
5
15 – 20
2
21 - 24
24 – 27
12
15
([22,00;24,55])
27 - 30
7
6,2 – 10,2
10,2 – 14,2
4
5
([7,98;12,67])
14,2 – 18,2
3
5 - 10
3
([7,26;13,58])
b)
Classes
fi
30 - 33
4
c)
Classes
fi
2,2 – 6,2
3
7.3 – INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÕES
15. Uma centena de componentes foi ensaiada e 93 deles funcionaram mais de 500 horas. Determinar um
intervalo de confiança de 95% para a proporção. ([0,88;0,98])
16. Uma amostra aleatória de 400 domicílios mostra-nos que 25% deles são casas de aluguel. Qual é o
intervalo de confiança da proporção de casas de aluguel? (α = 2%). ([16%;34%])
17. Em 50 lances de uma moeda, foram obtidas 30 caras. A partir de um intervalo de confiança de 96%, podese dizer que a moeda é honesta? ([0,46;0,74])
18. Para verificar se um dado era viciado, jogou-se o mesmo 120 vezes, obtendo-se 25 vezes o número cinco.
Calcular um intervalo de confiança para a proporção a α = 1 %. Pode-se dizer que o dado é viciado?
([0,11;0,31])
19. Uma amostra de 300 habitantes de uma cidade mostrou que 180 desejavam a água fluorada. Encontrar os
limites de confiança de 90% e 95% para a proporção da população favorável à fluoração. ([0,56;0,65] ,
[0,54;0,66])
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