O que pesa mais: 1kg de chumbo, ou 1kg de isopor

O que pesa mais: 1kg de chumbo, ou 1kg de isopor?
Até que ponto, o que aprendemos é definitivo? Terá o conhecimento um fim? A partir dos
primeiros reflexos sensorimotrizes, o conhecimento é construído sobrepondo estruturas de nível
superior às de nível inferior. Esses conhecimentos “. . . não provém nem da experiência dos
objetos unicamente, nem da programação ingênita formada previamente no sujeito, mas sim de
construções sucessivas com elaborações constantes e estruturas novas” (PIAGET, 1977). A maior
parte da atividade do nosso pensamento consciente é orientada por problemas. Nossos
pensamentos são dirigidos para um certo fim: salvo quando nos entregamos ao devaneio,
procuramos vias e meios para atingir um fim e ensaiamos imaginar uma marcha a seguir para
atingir um objetivo. Passamos a vida resolvendo problemas surgidos a partir de desequilibrações
de situações cognitivas, que acreditamos serem estáveis no sentido físico do termo. Sucessões de
regulações conduzem a reequilibrações que melhoram as estruturas anteriores, corrigindo e
completando formas de equilíbrio precedentes. Isto é, as novas estruturas acabam subsumindo as
estruturas anteriores, a partir de uma dinâmica dos processo que denominamos de reflexões e
reflexionamentos. Diferenciações e integrações solidariamente organizam o equilíbrio dinâmico
da aprendizagem.
Para responder com exatidão a questão título, vou recorrer a uma seqüência de
complexidade gradativa de “informações” (claro que todas elas estão eivadas de demonstrações
matemáticas a partir de princípios físicos fundamentais que, no nível que quero apresentar, podem
ser sobrepassadas para justificar a clareza e o entendimento por pessoas de diferentes áreas, não
afinadas com o cálculo e a expressão numérica ou literal). À medida que lermos, pode acontecer
que muitas das afirmações pareçam equívocos do autor, fazendo-nos viver a experiência de uma
assimilação deformante. Gostaria de receber via e-mail a impressão e os sentimentos dos colegas a
respeito das diferentes afirmações que apareçam no texto, que, porventura, contradigam ou
causem “mal-estar” cognitivo! Não tem pressa.
1. O que é massa?
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A massa, podemos dizer, é uma propriedade da matéria. A massa, como alguns autores
definem, é a medida quantitativa da inércia. Isto é, a massa é a grandeza que permite avaliarmos o
maior ou menor grau de dificuldade que podemos encontrar para retirar um corpo do repouso, ou
para pará-lo, uma vez que esteja em movimento, animado com uma velocidade, seja ela constante
ou não. Por exemplo, se tivermos à mão uma esfera de isopor e uma esfera de chumbo, ambas com
o mesmo diâmetro, mesmo volume, é muito mais difícil colocarmos em movimento a esfera de
chumbo que se encontra em repouso, do que a esfera de isopor. Da mesma forma, estando as duas
esferas em movimento, com uma mesma velocidade (acredito que nem precisemos realizar a
experiência), a que teremos mais dificuldade de parar será a de chumbo. Como a massa é uma
medida, a inércia de um corpo pode ser avaliada em unidades matemáticas que denominamos de
grama. No Sistema Internacional, a unidade de medida de massa é o quilograma (kg). Quando
dizemos que uma esfera de chumbo tem massa de 2kg e uma esfera de isopor
tem massa de 0,2kg, essa informação numérica nos diz que, com certeza,
teremos mais dificuldade em iniciar um movimento, ou parar um movimento,
da esfera de chumbo. Pode uma esfera de chumbo ter a mesma massa de uma
esfera de isopor? Com certeza que sim. Se as duas medirem , por exemplo, 1kg, podemos com
muita certeza dizer que utilizaremos a mesma quantidade de energia para pararmos, ou iniciarmos
os movimentos, das duas. A massa é medida com uma balança. A balança mais eficiente para se
medir a massa é a balança de braços, onde uma massa em um dos pratos equilibra a outra massa
no outro prato.
2. O que é peso?
O peso, ou força-peso, é a força de atração que a Terra exerce sobre os corpos. Numa
linguagem newtoniana, o peso nada mais é que a força gravitacional exercida pela Terra sobre
todas as massas que a rodeiam ou que estão sobre sua superfície. Normalmente, confundimos o
peso com a massa. Sendo uma força de origem gravitacional, o valor do peso pode ser
determinado a partir da equação
FG
M
.m
R2
2
Isto é: M é a massa da Terra (em quilogramas, kg), R é o raio da Terra (em metros, m), G é
a constante universal que mede 6,67 X 10-11N.kg2/m2 e m é o valor da massa do corpo que
queremos conhecer o peso (F). Por exemplo, quanto pesa um objeto de m = 80kg na superfície da
Terra? Conhecendo-se o raio da Terra (R = 12 700km) e a massa da Terra (M = 6,0 X 1024kg),
fazemos:
6,67 X1011 x6,0x1024 x80
F
N  781,64N
(6,4x106 ) 2
Se fizermos este cálculo para diferentes massas, chegaremos à conclusão que, em todos os
casos, basta multiplicar a massa por 9,8! Em linguagem matemática, podemos dizer que o valor do
peso de uma massa consegue-se aplicando a equação:
F = P  9,8.m
Na “prática”, conduzimos nossos alunos a arredondar o valor para 10, ficando, a expressão
do peso como sendo P = 10.m . Portanto, o peso não é uma propriedade dos corpos. É uma força
externa, aplicada pela Terra, que puxa o corpo para “baixo”. Os corpos, então, não têm peso! É
errôneo falar sobre “o peso do corpo”, “o meu peso”, etc. Temos massa, mas não temos peso!
3. A força normal
Vivemos em um mundo, ou num universo, onde as forças podem estar ou não em
equilíbrio mecânico. O equilíbrio mecânico caracteriza-se pelo resultado nulo das forças que estão
aplicadas em um corpo. Por exemplo, quando colocamos um corpo sobre uma mesa, sabemos,
com certeza, que a Terra o está puxando para baixo (força peso, etc . . .). Mas por que o corpo não
cai? A resposta, que pode parecer óbvia, é que a mesa não deixa o corpo cair, a mesa segura o
corpo exercendo uma força para cima, com o mesmo valor que a Terra puxa o corpo para baixo.
Se seguramos um livro em nossa mão e o mantemos parado, ocorre o mesmo fenômeno: nossa
mão aplica para cima uma força de igual valor ao que a Terra aplica puxando para baixo. Se
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quisermos erguer o livro, a força que aplicamos para cima deve ser maior que o peso; se
quisermos baixar o livro, a força que aplicamos para cima deve ser menor que o peso. Nesses dois
últimos casos, dizemos que não existe equilíbrio mecânico, pois o resultado da aplicação das
forças sobre o corpo não é uma força resultante nula. A esta força que uma superfície aplica para
segurar um corpo, denominamos de força normal. A força normal sempre é perpendicular a uma
superfície. Quando apoiamos uma escada em uma parede vertical, a força que a parede exerce
sobre a escada, horizontalmente, pode ser considerada também uma força normal à parede.
Na apresentação do trabalho do grupo da aula de 28/03 passado, a haste que segurava o
prumo que o grupo colocou sobre o plano inclinado pode representar a força normal sobre o
aquele plano.
4. Outras forças
Além da força normal, existem outras forças que podem se opor ao peso, ou até favorecêlo. Quando um objeto cai do alto de um prédio, o ar exerce uma força para cima, que pode freiar a
queda do corpo: podemos chamá-la de força resisitiva do ar, ou mesmo força de atrito do ar. Ela é
contrária ao movimento descendente do corpo. Se atirarmos um objeto para cima, o atrito, a
resistência do ar, agora, é a favor do peso: a Terra puxa para baixo e como o corpo está subindo, a
resistência do ar também é para baixo!
5. O empuxo hidrostático
Quando um objeto é colocado na superfície da água, pode acontecer dois fenômenos: ele
pode flutuar, ou pode afundar. No primeiro caso, a água consegue segurar o objeto, aplicando
sobre ele uma força de mesmo valor que o peso. No segundo caso, o peso é maior que a força
aplicada pela água e ela não consegue segurar o objeto. Não chamamos a força que a água aplica
sobre os corpos de força normal: ela é denominada de empuxo.
Se o objeto for mergulhado em água, podem acontecer três fenômenos: ele pode ficar onde
o deixarmos, em equilibro (empuxo = peso), ele pode afundar (empuxo < peso) ou pode subir à
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tona (empuxo > peso). Os peixes conseguem maravilhosamente ter esse “controle” sobre a relação
empuxo e peso.
Particularmente, esta deve ser a resposta para explicarmos por que os objetos flutuam ou
não em água: o equilíbrio das forças de empuxo e peso. Mais nada! É isso que devemos ensinar às
crianças (ver considerações ao final).
6. Mais sobre o empuxo hidrostático
Foi mencionado, nos exemplos acima, que o empuxo era aplicado pela água sobre os
corpos. De uma maneira geral, o empuxo hidrostático é aplicado por qualquer fluido em qualquer
corpo que esteja em contato. Os fluidos podem estar na forma de líquido ou gás. É por esse
motivo que os balões sobem na atmosfera (ou se precipitam, ou ficam em equilíbrio).
Assim sendo, sabendo que vivemos mergulhados em um “oceano” de ar, é de se pensar
que constantemente estamos sendo empurrados para cima pela atmosfera que nos rodeia. É uma
verdade! Nós, em última análise, não estamos sofrendo somente a ação da força peso sobre o
nosso corpo: a atmosfera também está constantemente nos empurrando para cima!
A hidrostática, embora tenha esse nome, que lembre o estudo do equilíbrio de forças em
água, na verdade está generalizada para qualquer tipo de fluido. O nome provém das origens desse
estudo, que, está claro, começou com a água. Na hidrostática, a diferença entre água, óleo e ar (ou
qualquer outro gás ou líquido) está no valor da massa específica (que pode confundir-se com a
densidade). Isto é, grosseiramente, podemos dizer que a água só é diferente do ar porque sua
massa específica mede 1,0 grama/cm³ e a massa específica do ar mede 1,2 grama/litro.
O mesmo acontece com a hidrodinâmica, que estuda o movimento dos fluidos em geral, e
não só o da água.
7. O peso aparente
Com isto, queremos dizer que o que uma balança “sente”, então, não é o peso verdadeiro
de um corpo! A balança sente o “peso aparente”, isto é, o peso resultante da diferença entre o peso
exercido pela Terra puxando o corpo para baixo e o empuxo exercido para cima pela atmosfera.
Com isto, passamos a entender uma verdade implícita: quando subimos numa balança ela não está
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marcando o peso verdadeiro, mas sim o peso aparente! Logo, o peso verdadeiro que puxa um
objeto ou uma pessoa é maior que aquele mostrado pela balança!
8. Que valor a balança indica?
Antes de continuar, é interessante saber o que a balança indica na realidade em seu
mostrador. Na verdade, todas as balanças que utilizamos comercialmente (as digitais, de farmácia,
etc) não são balanças no sentido estrito da palavra: são dinamômetros: isto é, elas “deveriam”
medir a força que a balança sente quando algo sobe sobre ela. Com isto, queremos dizer ainda que
a medida que ela indica está errada, pois ela deveria indicar o valor em newton (N) que é a medida
de força. Por exemplo, quando uma pessoa de 80kg sobe sobre uma balança ela não deveria
marcar 80kg, mas sim 800N (rever ítem 2, anterior). Como a balança segura o corpo que está
sobre ela, ela aplica uma força normal sobre o corpo que está sobre ela (rever ítem 3, anterior),
pois o mantém em equilíbrio de repouso sobre ela. A reação da força normal sobre a balança é que
a deforma, fazendo ela mexer os ponteiros, rolar os dígitos eletrônicos, etc. Em resumo: as
balanças na realidade são dinamômetros que medem a força normal devido ao peso aparente que
está aplicado sobre elas! As balanças não medem o peso real! Peso real, só em ambientes onde
possa se extrair o ar que se encontra sobre o objeto a ser “pesado”.
9. O Princípio de Arquimedes para a flutuabilidade
Se tudo foi bem até aqui, acho que agora a coisa enrosca! É nesse ponto que entra
Arquimedes (287a.C. – 212a.C) de Siracusa. Foi Aquimedes quem descobriu uma maneira
“mágica” de se medir o empuxo exercido pela água (ou qualquer outro fluido, generalizando). Ele
descobriu que o valor do empuxo é o mesmo valor do peso de líquido que um corpo desloca
quando colocado em água. Lembram da história da coroa do rei? Lembram do Heureca?
Vamos simplificar. Uma pessoa de 800N (80kg) que esteja boiando em uma piscina,
desloca para fora uma quantidade de água, cujo peso mede também 800N (80kg); para um navio
de 3 000 toneladas flutuar, ele deve deslocar para fora do rio também 3 000 toneladas de água. Isto
é, qualquer ente que estiver flutuando, boiando em um fluido, isto significa que o peso da
quantidade de fluido que ele desloca deve ter o mesmo valor do peso que o puxa para baixo. Se
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colocarmos uma esferinha de isopor de 0,1 grama sobre a superfície da água, ela vai deslocar de
0,1 grama de água.
10. O Princípio de Arquimedes para corpos mergulhados em geral.
Generalizando, então, se mergulharmos completamente um corpo em água e medirmos o
peso da quantidade de água que ele desloca para fora do recipiente, o valor deste peso será o valor
do empuxo que o objeto está recebendo da água. Por exemplo, se mergulharmos completamente
uma esfera de isopor de 100cm³ de volume, ela deslocará os mesmos 100cm³ de volume de água.
Esses 100cm³ de água, se colocarmos numa balança, tem 100 gramas de massa. 100 gramas de
massa “pesam” 1N. Portanto, o empuxo sobre a esfera de isopor será de 1N. Se a massa da esfera
de isopor for de apenas 10 gramas, com certeza, então, o empuxo é muito maior que o peso e ela
subirá para a tona e buscará o equilíbrio para ali ficar flutuando, deslocando, agora, os 10 gramas
de água necessários para fazê-la flutuar.
11. Finalmente, a resposta à questão
Vamos agora com calma! Sejam, então duas esferas: uma de chumbo e a outra de isopor.
Vamos escolhê-las de tal maneira que as duas marquem o mesmo “peso”. No caso, queremos que
as duas tenham “1kg” (que, na realidade, seriam 10N). Portanto, reformulemos nossa linguagem:
as duas pesam 10N, cada. Pela nossa vivência, sabemos que a esfera de isopor terá um volume
bem maior que a esfera de chumbo. Portanto, a esfera de isopor irá deslocar mais ar que a esfera
de chumbo. Se a esfera de isopor desloca mais ar que a esfera de chumbo, a quantidade de ar
deslocado por ela “pesa” mais que a quantidade de ar deslocado pela esfera de chumbo. Portanto,
o empuxo sobre a esfera de isopor é maior que o empuxo sobre a esfera de ferro. Mas o peso
acusado pela balança, na realidade, é o peso aparente dos objetos. Então, o que eles têm igual é o
peso aparente!
Não foi dito antes, mas o peso aparente é a diferença entre o peso verdadeiro e o empuxo,
isto é,
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PAPAR  P  E
Então, se o peso aparente dos dois objetos são iguais, podemos escrever:
PAPAR  CHUMBO  p APAR  ISOPOR
ou
PCHUMBO  ECHUMBO  PISOPOR  EISOPOR
Num primeiro momento, então podemos ver que, sendo grande o peso do chumbo e o
empuxo muito pequeno a igualdade somente será satisfeita se o peso do isopor for muito grande,
uma vez que seu empuxo também é muito grande! Na comparação, portanto, o peso na esfera de
isopor é maior que na esfera de chumbo.
Finalizando: quem pesa mais, uma esfera de chumbo de 1kg, ou uma esfera de isopor de
1kg? Resposta: a esfera de isopor pesa mais!
12. Considerações finais
O ensino de ciências tradicional “informa”, para crianças a nível de 5ª Série, que um corpo
flutua em água pelo fato de sua densidade ser menor que a da água. Isto é, se perguntarmos o que
faz uma rolha de cortiça boiar em água, todos dirão, em coro: “a densidade“! Muitos de nós
adultos acreditamos nisso também (o que não está de todo errado, apenas está incompleto e este
resultado é a etapa final de uma formalização matematizada da compreensão do Princípio de
Aquimedes ). A noção de densidade, se não for convenientemente formalizada, será levada pelo
adulto, ao longo de sua vida, calcada no seu aspecto perceptivo, isto é, relacionada à quantidade
maior ou menor de substância presente no objeto (PIAGET, 1983). Este é um resultado que induz
a uma resposta “mágica”, uma vez que as crianças têm ainda, nesta idade, dificuldade para
entender o significado físico e matemático da densidade e entendê-la como uma razão entre duas
medidas. Acreditamos, por experiências realizadas com crianças desta fase, que apresentar a
explicação da flutuabilidade ou não de um objeto por meio de interação de forças tem sido mais
eficiente, mais real e mais significativa, uma vez que a noção de força (mais forte X mais fraco)
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desde cedo faz parte de esquemas e tomadas de consciência em diversos eventos físicos (PIAGET,
1973).
É comum também a literatura referir-se à massa como a “quantidade de matéria” de um
corpo. O próprio Piaget (PIAGET, 1983) trabalha esse conceito de massa. Quantidade de matéria
é uma grandeza físico-química que relaciona a massa de uma substância com sua massa molar. A
unidade da quantidade de matéria é o mol. Originalmente, a quantidade de matéria era definida
como uma razão entre a massa da substância (em gramas) e a massa atômica , ou molecular,
medida em u.m..a (unidade de massa atômica, hoje abolida) de um elemento ou substância.
O conceito de massa é muito difícil de elaborar e de compreender, física e filosoficamente.
Os exemplos que apresentei no ítem 1 podem não ser muito qualificados, uma vez que a massa
aqui na superfície da Terra estará sempre ligada à força gravitacional. Por isso, quando discutimos
com alunos esta questão, eles continuam afirmando que o objeto mais massivo nos oferece mais
dificuldade para sair do repouso ou sair do movimento porque justamente, ele é mais pesado!
Ficamos girando numa tautologia: o objeto é mais pesado porque ele tem mais massa; mas sei que
ele tem mais massa porque é mais pesado (sai dessa!).
Finalmente, meu depoimento é que o estudo, ou o “ensino” do assunto sobre o Princípio de
Arquimedes, a flutuabilidade dos corpos, é o mais difícil de toda a mecânica clássica. Ele envolve
muitas articulações entre conceitos, coordenações perceptuais
e definições físicas. Ele deve
envolver mais tempo dentro do currículo escolar para que os alunos consigam fazer muitas
experimentações. O que se faz em sala de aula é apresentar a equação do empuxo (a
axiomatização do conhecimento) e a partir dali atirar problemas de substituição de variáveis em
situações configuradamente notáveis. A tomada de consciência, a formulação do conceito sobre o
fenômeno dificilmente acontece.
Com isto termino com um desafio: depois de tudo que foi lido e, espero, compreendido, e
só com o que está escrito nesse texto, qual é a função da bexiga natatória de um peixe para fazê-lo
conseguir flutuar, afundar ou elevar-se na água?
13. Bibliografia de referência
PIAGET, Jean et all. La formation de la notion de force. Paris: PUF, 1973
9
PIAGET, Jean. O desenvolvimento do pensamento. Equilibração das estruturas cognitivas. Trad.
Alavaro de Figueiredo. Lisboa: Dom Quixote, 1977.
PIAGET, Jean & INHELDER, Barbel. O desenvolvimento das quantidades físicas na criança:
conservação e Atomismo. Trad. De Christiano Monteiro Oiticica. 3ª Ed. Rio de Janeiro: ZAHAR,
1983
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