Lei de Gauss - Simetrias

Lei de Gauss
Objetivos:
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Calcular o Campo Elétrico para diferentes
distribuições de cargas explorando sua simetria
com a Lei de Gauss.
Sobre a Apresentação
Todas as gravuras, senão a maioria, são dos livros:
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Sears & Zemansky, University Physics with Modern Physics – ed.
Pearson, 13a edition
Wolfgang Bauer and Gary D. Westfall, University Physics with
Modern Physics – ed. Mc Graw Hill, Michigan State University, 1a
edition
Halliday & Resnick, Fundamentals of Physics, 9a edition.
Introdução
A Lei de Gauss pode ser aplicada a qualquer problema, rico ou
pobre de simetrias. No entanto é em problemas com alta
simetria que ela se mostra eficiente.
Simetria não explorada.
Simetria esférica bem
explorada.
Superfícies Gaussianas
Superfície Gaussiana é superfície qualquer imaginária, fechada, em torno
de uma região do espaço.
Suponha que duas cargas +q e -q são envoltas
por 4 superfícies Gaussianas como ilustra a
figura ao lado:
S1: envolvendo apenas a carga +q;
S2: envolvendo apenas a carga -q;
S3: envolvendo nenhuma carga;
S4: envolvendo ambas as cargas;
Exemplo
As cargas q1 = q4 = 3,1nC; q2 = q5 = -5,9nC e q3 = -3,1nC são
dispostas em uma superfície. Qual o fluxo de Campo Elétrico através da
superfície S, que envolve as cargas q1, q2, q3 e a moeda?
Solução: Pela Lei de Gauss:
Calculando a carga envolvida dentro da
superfície S:
O Fluxo pela superfície S, pela Lei de Gauss
será:
Carga um em Condutor
Imagine um condutor de forma aleatória, com uma
carga líquida Q.
“Se uma carga q for colocada em um condutor
isolado, toda esta carga migra imediatamente para
a superfície do condutor”
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Esta migração ocorre em uma fração de segundos,
enquanto os cargas são adicionadas ao condutor;
Quando a migração de cargas cessa, o campo
elétrico no interior do condutor será nulo;
As cargas migraram para a superfície do metal a
fim de ficarem o mais afastadas umas das outras;
Se uma tinta isolante fosse colocada a fim de fixar
as carga na superfície do metal, todo o metal
poderia ser removido e o campo se manteria
inalterado.
Condutor Oco
Uma esfera condutora neutra e oca, de raio interno R, tem, em seu interior,
uma carga elétrica -q, colocada a uma distância R/2 do centro da cavidade.
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Qual o campo elétrico produzido por esta carga fora da casca
condutora?
Passando uma superfície Gaussiana no interior da
casca condutora,
S1
Uma vez que o campo total dentro do metal é nulo, a integral à esquerda
será nula. O que significa que a carga dentro da superfície S1 é nula.
Ou seja, uma carga elétrica positiva e igual a q será induzida no interior da
cavidade condutora para anular a carga dentro da superfície S1.
Superfície do Condutor
O campo elétrico dentro de um metal, provido por uma distribuição de
cargas estáticas, será sempre nulo!
Bem próximo à superfície do metal, onde a
distribuição superficial de carga pode ser
considerada constante, σ, o campo elétrico
pode ser encontrado pela Lei de Gauss,
utilizando uma superfície Gaussiana,
cilíndrica:
Condutor Oco
Algumas conclusões importantes:
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As cargas no interior da casca condutora vão se distribuir mais
próximas onde o campo da carga interna -q é mais intenso e mais
afastadas onde o campo é menos intenso;
As linhas de campo na superfície do metal se curvarão de forma a
entrarem sempre perpendicular à superfície do metal;
A distribuição de cargas no interior da casca condutora não interfere na
distribuição de cargas na parte externa, pois não existe campo dentro
do metal, impossibilitando a interação entre as cargas dentro e fora do
metal;
O Campo Elétrico gerado fora da casca condutora será o mesmo de
uma carga puntiforme -q.
Condutor Oco
Algumas conclusões importantes:
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As cargas no interior da casca condutora vão se distribuir mais
próximas onde o campo da carga interna -q é mais intenso e mais
afastadas onde o campo é menos intenso;
As linhas de campo na superfície do metal se curvarão de forma a
entrarem sempre perpendicular à superfície do metal;
A distribuição de cargas no interior da casca condutora não interfere na
distribuição de cargas na parte externa, pois não existe campo dentro
do metal, impossibilitando a interação entre as cargas dentro e fora do
metal;
O Campo Elétrico gerado fora da casca condutora será o mesmo de
uma carga puntiforme -q.
Condutor Oco
Como uma carga elétrica +q é induzida na parte interna da cavidade, uma
carga igual -q deve ser induzida na parte externa do condutor a fim de
conservar a carga total no condutor, que era nula.
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A carga elétrica induzida na parede interna da casca condutora interfere
na distribuição de carga na parte externa da casca condutora?
Para calcular o campo fora da esfera, imagine
uma superfície Gaussiana com raio r > R.
Aplicando a Lei de Gauss nesta superfície:
S2
Esfera Metálica
Apenas para observação, o Sears resolve um problema semelhante, onde
uma carga q é adicionada a uma esfera condutora de raio R. A figura a
seguir mostra o campo resultante em alguns pontos do espaço:
Fio Infinito
Determine o campo elétrico gerado por um fio infinito de densidade de
carga linear λ, a uma distância r do fio.
Escolha como superfície Gaussiana
um cilindro concêntrico ao fio, de
comprimento l e raio r. A carga
envolvida dentro do cilindro será:
Aplicando a lei de Gauss:
Placa Isolante Infinita
Determine o campo elétrico gerado por uma placa
isolante infinito de densidade de carga superficial σ,
a uma distância r do plano.
Escolha com superfície Gaussiana um cilindro de
área de basa A e altura 2r, atravessando o plano
de cargas. A carga envolvida dentro do cilindro:
Aplicando a lei de Gauss: