Números Complexos

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ÁLGEBRA - NÚMEROS COMPLEXOS
Álgebra
Números complexos
14. Determine x ∈ R, para que o número
z = (x - 2i) (2 + xi) seja real.
1. Resolva as equações no campo dos
complexos:
15. Ache o conjugado de :
a) x² + 49 = 0 b) 2x² - 12x + 26 = 0
c) x² - 2x + 5 = 0 d) x² - 2x + 2 = 0
2. Dado z = (4a + 2) - (2a - 1)i determine
o número real a tal que z seja:
a) imaginário puro
a) z = (3 + i) - (2 + 5i)
b) z = (1 - i) (3 + i) (-i)
16. Determine z ∈ C, tal que: 2z+3 z =4-i.
b) real
3. Sendo z = (4m -5) + (n -1)i, determine
os números reais m e n tal que z = 0.
17. Sendo z 1 = 2 + i e z 2 = 5 - 3i, obtez
nha 1 .
z2
4. Determine x e y, para que o número
complexo z = (x + 6) - (y² - 16)i seja:
18. Efetue
a) um número real
b) um número imaginário puro
5. Sendo z = (x - 1) + (2x - 3)i, determine os números reais x, tais que:
5+i
.
i
19. Dado z =
2+i
,obtenha z.
i
20. Determine o número complexo z, tal
que :
a) Re(z) ⟩ 0
b) Im(z) ⟨ 0
6. Determine a ∈ R e b∈R, para que:
2 + 4i = a - bi.
7. Se z 1 = x² - 1 + (4 - y)i e z 2 = 3 - 10i,
determine x e y, para que z 1 seja igual a
z2.
21. Dadas as funções f(x) = x² - 2x + 1 e
f (2 + i )
g(x) = x² + x, calcule
.
g (1 − i )
8. Calcule:
22. Determine a e b, se a + bi =
z
z+2 3 7
+
= + i.
1− i 1+ i 2 2
a) (6 +5i) + (2 - i)
b) (6 - i) + (4 + 2i) - (5 - 3i)
2  1 
c)  + i  −  − i  + (4 - 2i)
3  2 
23. Dado z = 1 - i , calcule
4 + 3i
.
5 − 2i
z
.
z
1
1− i
, b =
e c = (b - i) 2 ,
1+ i
1+ i
c
calcule (a.b) .
24. Se a =
9. Dados os números complexo:
z 1 = a + 8ai e z 2 = a + 8ai, determine
a, b ∈ R, tal que z 1 + z 2 seja imaginário
puro.
10. Calcule a e b, para que:
(4 +5i) - (-1 + 3i) = a + bi
11. Efetue:
2
 − 1 + 5i 
25. Calcule 
 .
 2 + 3i 
1− i
 3
.
26. Efetue (1 + i)² 
+
1 − i 1 + i 
1 1 
b)  + i   − i 
2 2 
c) (1 + i) (2 - i) (3 + 2i) d) (5 + 2i)²
12. Se z 1 = 1 + i, z 2 = 2 + 3i e z 3 = 4 - i
calcule:
(z 1 .z 2 - z 3 )².
13. Sabendo que z² = - 8 + 6i, calcule z.
27. Se z 1 = 1 - i, z 2 = 2 + 4i e z 3 = 2 + i,
calcule o valor da expressão:
a) (4 - i) (2 + 3i)
(z
2
1
 z + z3 

− z 2  2
z
1


)
28. Calcule :
a) i 92
1
b) i 45
c) i 310
d) i 108
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29. Calcule na forma a + bi o número
i 4 − 2i 2 + i 6 − 3i 9
.
complexo
i16 − i 20 + i 35
45. Ache o número complexo x que sax + i 1− i
tisfaz a equação
=
.
1− i 1+ i
30. Dados z 1 = 2 - 3i e z 2 = 1 + i, determine:
a) z 1 + z 2
b) z 2 - z 1
c) z 1 - z 2
e) z 1 : z 2
d) z 1 . z 2
46. Determine a para que o número com2 − ai
plexo
seja imaginário puro.
1 + 2ai
47. Classifique cada número complexo a
seguir como imaginário puro ou real:
31. Determine b ∈ R, de modo que o número complexo z = (2 - bi) (b + i) seja:
a) um número real
b) Um número imaginário puro
32. Determine os valores de x e y, de
modo que (2x-3y) + 5i = -4 + (x+2y)i.
d) z = 7
e) z = -
c) z = -4i
3
i
i f) z =
2
7
49. Dados os complexos a seguir, determine:
34. Calcule (4 + 2i)².
35. Determine o número complexo z, tal
que z² = i.
a) m e n para que z = m + (2m-n+1)i
seja imaginário puro;
1− i 1+ i
+
na forma a + bi.
1+ i 1− i
b) a e b para que z = (4a-5)+(2b+7)i
seja real;
37. Calcule (3 + i) -1 .
c) x e y para que z = (2x+4) - (y - 3)i
seja o real z = 0.
38. Determine o número complexo z que
verifica a equação iz + 2 z + 1 - i = 0.
50. Resolva as equações a seguir para U
= C:
a) z² + 36 = 0
d) 4z² + z + 3 = 0
b) z² + 15 = 0
e) 5z² - 2z + 1 = 0
c) - z² + 4z - 13 = 0 f) z² + z + 1 = 0
51. Dados z 1 = 1 - 3i e z 2 = 2 + i, calcule:
39. Seja z um número complexo e z o
seu conjugado. Determine as soluções da
equação z = z 2
40. Efetue:
a) (3 + 2i) (1 - i) + i 48 - i 19
b) (2 + i) (2 - i) + i 36 - i 124
41. Calcule (1 + i)²(1 - i)².
1− i
42. Dado z =
, determine z .
i
43. Sabendo que z =
b) z = -3
48. Determine o valor de m e n para que
o complexo z = (m² - 4) + (n 3 - 27)i seja
um imaginário puro.
33. Dado z = (2x + 4) - ( y - 3)i,
determine x e y , para que z = 0.
36. Escreva
a) z = - 3 i
c) z12
a) z 1 . z 2
b) 2z 1 - 3 z 2
d) z 22
e) (z 1 + z 2 )( z 1 - z 2 )
52. Calcule o valor do número:
z = (5 - i)² + (5 + i)².
53. Dados z 1 = a + 2i e z 2 = 3 - bi, determine a e b para que 2z 1 - z 2 seja imaginário puro.
3−i
, determine
2i
1
2z − .
z
54. Obtenha o valor real de m para que o
complexo (m + 2i).(2m - i) seja um imaginário puro.
44. Obtenha o valor de m, para que o
4 − mi
seja um número recomplexo z =
2 + 3i
al.
55. Qual o valor real de x para que o
número complexo z = (xi + 2)(x - 2i) seja real?
2
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56. Calcule os seguintes números:
a) (1 + i)².(1 - i)² b) (1 + i)².(1 - i)².i
57. Escreva os conjugados dos seguintes
complexos:
67. Determine as seguintes potências:
b) (2 + i) 4 c) (2 - i) 6
a) (1 + i) 3
(
i − 1)5
5
e)
d) (i - 1)
(2i − 1)4
b) z = i + 3
7
c) z = 4 - 2i
d) z= - i
2
e) z = 14
f) z = 1
58. Determine os números:
68. Determine o número z tal que:
a) z = -3i + 1
4 + 2i
a) z =
1− i
c) z =
a) z =
b) z =
d) z =
4 - 3i
2i - 5
59. Qual o conjugado de z =
4 − 8i
.
1 + 2i
60. Calcule os conjugados dos complexos:
1
a)
i
2
b)
1+ i
70. Ache k para que (3k + i).(5 - 2i) seja
um número real.
3+i
c)
2-i
71. Qual o valor de
61. Determine o inverso dos seguintes
números:
a) z = i
b) z = 3i
c) z = 4 + 2i
i
4 - 5i
e) z =
d) z =
2
3
62. Simplifique as expressões:
a) 1+ i +
c)
1
1
−
1− i 1+ i
b)
73. O conjugado do número complexo
1 + 3i
é:
2−i
74. Efetuando-se as operações na expressão dada por (1 + i) -1 (1 + i 3 )(1 + i) 2 , sendo i = − 1 obtém-se:
1 1
5
+ −
i 2i 2 − i
75. O valor de a que torna real o quoci3 − 2ai
ente
é:
4 − 3i
63. Determine o número complexo z tal
que:
z - z + z. z = 8 + 4i.
64. Resolva as equações:
b) z z + i = 7 + z
c) 2z = z - 6
c) 2zi = z - 6
2−i
.
2+i
72. Se u = 4 + 3i e v = 5 - 2i, então u.v
é:
1
2
+
-3
2−i 2+i
a) z - 2z = 4 + i
i18 + i 6 + 1
i 23 + i 4 − 2i10
i 28 + 2i 30
3i 7 + 2i − 1
c) z =
i 8 + i13
2i 7 + 3i 42 + i12
d) z = 5
4i + 3i 38 + 7i15
69. Qual o valor de m para que o produto
de complexos (2 + mi).(3 + i) seja um
imaginário puro?
5 - 3i
b) z =
i
1+ i
1− i
i 5 − 3i 7 + i 41
76. Calcule i 10 + i -100 .
77. Determine o número complexo correspondente a cada ponto assinalado:
y
65. Sendo f(x) = x² - 2x + 3, determine:
a) f(i)
b) f(i - 1)
c) f(2i + 3)
66. Calcule as potências:
a) i
68
d) i 327
b) i
54
e) i 401
C -1
c) i
A
3
2
145
-3
f) i 678
-2
1 E
B
11 2
-1
3
x
-2
-2
D
-3
3
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78. Determine o módulo, o argumento e
dê a representação gráfica dos seguintes
números complexos:
a) 1 +
3i
a) z = 4 - 3i
b) z = 2 + 2 i
c) z = 3 - i
d) z = (0, 3)
e) z = (4 , 0)
f) z = - 4i
89. Determine o módulo dos números
complexos a seguir:
b) -2 + 2 3 i
79. Determine o módulo dos números
complexos :
(4 − 3i)(12 − 5i)
a) (3-i)(2+i)
c)
2i
1 + 4i
b)
i
z
z −1
−
= 2i, calcule
80. Sabendo que
1+ i
i
o módulo de z.
i 3 + i8
(7 + 2i) − (6 + 2i)
d)
z
=
i 40
i15 + i 6
90. Determine p para que o módulo do
número complexo z = (p + 2i)(1 + i) seja
igual a 4.
c) z =
91. Determine p para que o módulo do
número complexo z = (3 + pi)(2 + i) seja
igual a 7.
81. Dados z 1 = 3 + 4i e z 2 = 6 - 8i, determine:
a) z1 .z 2
b) z1 + z 2
2z 1 + z 2
e)
z1 − z 2
z
d) 1
z2
c) z1 − z 2
92. Determine o argumento θ do número
complexo z nos seguintes casos :
2
a) z = (1, 1)
c) z = - 1 -
82. Determine o argumento dos complexos a seguir e faça sua representação geométrica:
a) z = 1 - i
b) z = 2 + 2 3 i
c) z = 4i
d) z = - 2 + 2
4 − 2i
3 + 2i
a) z = (3 + 2i) (5 - 2i) b) z =
b) z = 3i
e) z = - 6i
3 +1
d) z = 4 + 4i
f) z = - 12
93. Escreva na forma trigonométrica o
número complexo z :
3i
83. Determine o conjunto solução da equação:
a) z = (2 , - 2)
b) z = 2 2 + i
c) z = 1 - 2 2 i
d) z =
3 -i
e) z = - 1 + 3 i
f) z = - 3 + 3i
g) z = - 4i
h) z = 3
94. Passe para a forma trigonométrica os
seguintes números complexos:
2
z + z - z. z = 3 + 3i
84. Dê a representação gráfica, no plano
de Argand-Gauss, do conjunto {z ∈ C /
z = 2}.
a) z = -4 3 - 4i
b) z = 8i
c) z = - 7 - 7i
d) z = 1 - 3 i
e) z = -5
95. Passe para a forma algébrica os complexos:
5π
5π
a) z = 2 2 (cos
+ isen
)
3
3
b) z = 2(cos 315º + isen 315º)
5π
5π
c) z = cos
+ isen
3
3
96. Qual a parte real do complexo z :
a) z = 5(cos 0º + isen 0º)
b) z = 3(cos 270º + isen 270º)
c) z = 2 (cos 135º + isen 135º)
85. Calcule o módulo do número complexo:
z = i 5 + 3i 4 - 5i 3 + 6i² - 3i.
86. Sabendo que z é um número complexo tal que z .z = 24 , calcule o módulo
de z.
87. Sabendo que os números complexos
definidos por z 1 = 2 - i e z 2 = x + i, x re2
al e positivo, são tais que z1 .z 2 = 10,
calcule x.
88. Determine o módulo dos seguintes
números complexos:
4
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d) z = 3(cos 330º + isen 330º)
e) z = 2(cos 120º + isen 120º)
f) z = 3(cos 210º + isen 210º)
97. Determine o valor de θ para que o
número complexo z seja imaginário puro:
π
π
+ isen ),
4
4
π
π
π
π
z 2 =4(cos +isen ) e z 3 = cos + isen ,
2
2
3
3
calcule:
101. Sabendo que z 1 =2(cos
 
π
π 

a) z = 3cos θ +  + isen  θ + 
3
3 

 
 
b) z = 2 cos θ −
 
π

 + isen  θ −
2

z1 .z 2
z3
a)
b)
z 2 .z 3
z1
102. Calcule (1 + i) 8 .
π 

2 
103. Determine, na forma algébrica, as
potências:
 
π
π 

c) z = 4 cos 2θ +  + isen  2θ + 
6
6 

 
(
a) 1 + 3i
)
5
b)
(
3 −i
)
10
104. Determine o módulo do número
complexo dado por (1 + 3i) 4 .
98. Determine o valor de θ para que o
número complexo z seja real:
105. Calcule (1 + i) 10 .
 
π
π 

a) z = 2 cos θ +  + isen  θ + 
3
3 

 
6
 
π
 π 
b) z = 4 cos θ −  + isen  θ - 
6
 6 
 
1+ i 
106. Seja z = 
 , um número com1− i 
plexo, calcule a parte real e a parte imaginária de z.
 
c) z = 2 cos θ −
 
107. Calcule as raízes
números complexos:
 π 
 + isen θ - 
4
 4 
π
a) - 4
99. Escreva na forma algébrica os números complexos:
b) - 16
quadradas dos
c) 4i
d) -3i
108. Determine as raízes cúbicas dos seguintes complexos:
π
π
+ isen )
2
2
π
π
b) z = 2 (cos + isen )
4
4
π
π
c) z = 6(cos + isen )
3
3
5π
5π
d) z = 3(cos
+ isen
)
3
3
e) z = 4(cosπ + isenπ)
100. Faça o que se pede:
a) 27
a) z = 4(cos
b) 64i
c) - 8i
d) 1 + i
109. Determine as raízes quintas do número complexo z = -128 .
110. Tomando como universo o conjunto
U = C, determine as raízes da equação x 3
+ 8 = 0.
111. Determine para U = C o conjunto
solução das equações :
a) x³ + 27 = 0
b) ω4 +81 = 0
c) ω³ + 1 = 0
c) x² - 2i = 0
112. Represente graficamente o número
complexo z:
a) Sabendo que z 1 = (cosπ + isenπ) e
π
π
+ isen ), obtenha
z 2 = 3(cos
3
3
z 1 .z 2 .
a) z =
b) z = 4 - 16
−8
c) z = 6 - 64
113. Escreva na forma algébrica as seguintes potências:
b) Sabendo que z 1 = 4(cosπ + isenπ) e
π
π
z 2 = 3(cos + isen ) obtenha
2
2
z 1 .z 2 .
a) (1 - i) 8
(
c) 2 − 2 3i
5
b)
)
5
(
2 + 2i
)
6
d) (1 + i) 10
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π
π
+ isen , determine o
6
6
3
4
7
número z = ω + ω + ω .
116. Com o complexo z = 2 + 2 i, determine:
a) z 4 na forma trigonométrica;
b) z 6 na forma algébrica;
c) z 4 na forma algébrica.
114. Se ω = cos
115. Dado o complexo ω = i +1, calcule
o valor de ω + ω2 + ω3 + ω4 + ω5 .
RESPOSTAS
1. a) ±7 i
b) 3 ± 2 i
c) 1 ± 2 i d) 1 ± i
z=-
1
1
b) a =
2. a) a = 2
2
5
3. m =
en=1
4
36. 0
38. -1 -
40. a) 6
41. 4
3
b) x <
2
5. a) x > 1
m = -6
x = -1 - 2 i
a = 1 ou a = -1
a) IP
b) R
c) IP
d) R
e) IP
f) IP
48. m = ±2 e n ≠ 3
49. a) m = 0 e n ≠ 1
9. a = 4 e b ≠ -32
10. a = 5 e b = 2
12.
13.
14.
15.
16.
b)
5
4
c) 7 + 9i
d) 21+20i
-11 - 60 i
1 + 3 i e -1 - 3 i
x = ±2
a) 1+ 4 i b) -4 - 2 i
4
+i 1
5
7.
7
11
+
i
34
34
18. 1 - 5 i 19. 1 + 2 i
20.
1
9
+ i
2
2
22.
23.
26.
28.
29.
30.
a=14/29 e b=23/29
i 24. – 4
25. 2 i
-1 + 3 i 27. 28 - 6 i
a) 1 b) i c) -1 d)
3 + 2i
a) 3 -2 i b) -1+4 i
21. -
3
1
+ i
5
5
31.
32.
33.
34.
a) b = ± 2 b) b=0
x=1ey=2
x = -2 e y = 3
16 + 88 i
35. z =
2
+
2
2
i ou
2
∈
Reb=-
i
7
2
c) x = -2 e y = 3
50. a) ±6
b) ± 15 i
1
47
c) 2 ± 3 i d) - ±
i
8
8
1
3
i
e) 1 ± 2 i f) - ±
2
2
51. a) 5 - 5 i b) -4 - 9 i
c) -8 - 6 i d) 3 + 4 i
e) -11 - 10 i
52. 48 53. a =
1 5
i
2 2
c) 1-4 i d) 5- i e) - -
b) a
3
e b ≠ -4
2
54. m ≠ 0
55. x = ±2
56. a) 4
b) 4 i
57. a) 1 + 3 i b) 3 - i
c) 4 + 2 i
d)
7
i
2
26
7
+
i
29
29
12
16
59. +
i
5
5
i
i
d) -
6
64. a) -4 -
1
i
3
b) 3 + i ou -2 + i
c) 2 - 4 i d) -2 + 4 i
65. a) 2 - 2 i b) 5-4 i
c) 14 + 8 i
66. a) 1
b) -1
c) i
e) i
f) -1
d) - i
67. a) -2+2 i
b) -7+24 i
c) -117 + 44 i d) 4 - 4 i
e) -
124
68
i
625
625
68. a) -5 i
c)
1
3
b) -3 +
d)
69. 6
i
3
7
+ i
29 29
5
70.
6
3
4
- i 72. 14 + 7 i
5
5
1
7
73. - - i
5
5
9
74. 2
75.
76. 0
8
71.
77. A=2 + 3 i ; B=1; C=-2;
D = -1 -2 i e E = i
π
3
2π
b) ρ = 4 e θ =
3
78. a) ρ = 2 e θ =
e) 14
f) 1
58. a) 1 + 3 i b) -3 - 5 i
c)
c) 1 -
63. ±2 + 2 i
44.
45.
46.
47.
25
c)
6
11.a) 11 + 10 i
i
4
12
i
43. - +
5
5
6. a = 2 e b = -4
7. x = ±2 e y = 14
8. a) 8 + 4 i b) 5 + 4 i
i
1
2 1
i c)
+ i
3
9 9
12
15
+
i
d) -2 i e)
41
41
9
1
62. a) 1 + 2 i
b) - - i
5
5
5
c) -2 - i
2
1
3
±
i}
2
2
b) 5
42. -1 +
b) 1 +
i
61. a) - i b) -
i
39. {0, 1, -
4. a) y = ±4
b) x = -6 e y ≠ ± 4
60. a)
2
2
i
2
2
3
1
37.
i
10
10
79. a)
2 b)
17 c)
65 2
2
80. 3 2
Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca
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ÁLGEBRA - NÚMEROS COMPLEXOS
81. a) 50
b)
97
1
16
e)
2
17
7π
π
π
2π
82. a)
b)
c) d)
3
2
4
3
d)
c) 3 17
83. 3 + 3 i
84.
y
2
-2
2
x
-2
c) 1
260
13
b)
377
d) 1
90. ±2
2 5
5
7π
c)
6
91. ±
5π
6
3π
e)
2
7π
93. a) 2 2 cis
4
π
4
π
d)
4
b)
92. a)
b) 3cis(arctg
f) π
2
)
4


2  


 4 

11π
2π
d) 2cis
e) 2cis
6
3
3π
f) 3 2 cis
4
c) 3cis  arctg −
g) 4cisπ
h) 3cis0
7π
b) 8cis0
6
5π
c) 7 2 cis
4
94. a) 8cis
d) 2cis
95. a)
b)
96. a) 5
2 -
113. a) 16
b) -64 i
c) 512 - 512 3 i d) 32 i
114.
3 −1
3+ 3
+
i
2
2
115. -9 + i
116. a) 16cisπ
c) -16
b) -64 i
3 3
3
i
e) -4
2
2
4π
3π
100. a)15cis
b)12cis
2
3
5π
7π
b) 2cis
101. a) 8cis
12
12
d)
86. 2 6
85. 3 2
87. x = 1
88. a) 5
b) 2
c) 2
d) 3 e) 4
f) 4
89. a)
3 3
3 3
e) -1 f) 2
2
π
97. a) + kπ b) π + kπ
6
π
c) + kπ
6
5π
+ kπ
98. a)
3
π
π
b) + kπ c) + kπ
6
4
99. a) 4 i b) 1+ i c) 3+3 3 i
d)
5π
e) 5cisπ
3
6i
2- 2i
b) -3
c)
1
3
i
2 2
c) -1
102. 16
103. a) 16 - 16 3 i
b) 512 + 512 3 i
104. 100
105. -32 i
106. -1 e 0
b) ±4 i
107. a) ±2 i
c) ±( 2 + 2 i )
6
+
2
3
108. a) 3, - ±
2
b) 2 3 + 2 i ,
d) ±(-
6
i)
2
3 3
i
2
-2 3 + 2 i e -4 i
c) 2 i , - 3 - i e 1 - 3 i
d) 6 2 cis15 0 , 6 2 cis135 0 e
0
6
2 cis255
109. 4 cis36 0 , 2 4 cis324 0 ,
-2 4 , 2 4 cis108 0
e 2 4 cis252 0
110. 1 + 3 i , -2 e 1 - 3 i
3
3 3
±
i
2
2
3 2
3 2
±
i
b)
2
2
3 2
3 2
e±
i
2
2
1
3
±
i
c) -1, e
2
2
111. a) -3 e
d) 1 + i , -1 112. gráficos
7
i
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