geometricamente

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Capítulo 3.
VetoresDefinição
Conceitos matemáticos são muitas vezes ligados a fenômenos físicos, para
adequada representação dos mesmos. Grandezas como temperatura, potência e outras
são completamente definidas por um único valor numérico. Exemplificando: 5 kg de
massa, 10 m2 de área, 12 cm de largura.
Tais grandezas são denominadas escalares porque, na forma gráfica, podem
ser visualizadas como um ponto em uma escala conforme Figura (a).
Outras, como velocidade, força, etc., precisam, além do valor escalar, de uma
direção e um sentido, e graficamente são representadas por um segmento de reta
com seta, sendo estas chamadas grandezas vetoriais.
Portanto, um vetor define corretamente a grandeza através do
comprimento e do ângulo que faz com uma referência, conforme (b) da figura.
seu
Exemplo: Uma força é aplicada em um corpo, sendo a direção, sentido e intensidade da

força representados pelo vetor denotado por F de acordo com a figura.

F
Comprimento de



F : Representa a intensidade da força.

Ângulo que F faz com a referência: Fornece a direção e sentido de F .
39
Notações de vetor
   
I. Uma letra minúscula encimada por uma seta. Ex: a , b , u , v 
II. Uma letra latina minúscula sobrelinhada. Ex:
a,b ,u, v 
III. Dois pontos que são a origem e a extremidade do vetor.
Ex:
A
B
Vetor:

AB
Vetores equivalentes.
Vetores orientados com mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento
representam o mesmo vetor.
Não equivalentes
Equivalentes
Módulo de um vetor
É o número não negativo que indica o comprimento do vetor.

A

A 4
40

Vetor nulo ( 0 )
É um vetor de módulo igual a zero, sendo um ponto a sua representação
gráfica.
Vetor unitário
É o vetor de módulo igual a 1.

v
Então:
1

v 1
Versor
O versor de um vetor
e o mesmo sentido de

v.

v não nulo, é o vetor unitário que tem a mesma direção
Exemplo:

v

então vers v 

vers v

v
3
Vetor oposto
Dado um vetor



AB o seu oposto é o vetor BA , e se indica por - AB . O vetor


oposto de um vetor u é representado por - u .
Exemplo:

u

u
Vetores paralelos
Dois vetores são paralelos se possuem a mesma direção.
Exemplo:

u

w

v
 
u // v
   
w // v u // w
41
Multiplicação de um vetor por um escalar
Seja k um escalar e


v um vetor. O produto do vetor v pelo número real k é

kv .


kv : Tem a mesma direção de v ;
representado por

k vezes o comprimento de v ;


Tem o mesmo sentido de v se k > 0, e sentido contrário a v se
Tem comprimento
k<0.
A figura ilustra a relação entre
Um vetor da forma
 1


v e os vetores  2v , 3 v e   v
2


kv é chamado múltiplo escalar de v . Como é visível da
figura anterior, vetores que são múltiplos escalares um do outro são paralelos.
42
Soma e subtração de vetores.
Somando dois vetores
 

u e v , faça uma translação de u de modo que

 
seu ponto inicial coincida com o ponto final de v . A soma v  u é o vetor que sai do


ponto inicial de v e vai até o ponto final de u
A regra da adição: dados os vetores
 
v u

v

u

u

v
Na figura abaixo, construímos duas somas
   
v  w  w v
 
 
v  w e w  v , ficando evidente que:
É evidente também que a soma coincide com a diagonal do paralelogramo
determinado por


v e w quando estes vetores são posicionados com o mesmo ponto
inicial. Isto conduz a uma versão equivalente à regra da adição:
43


 
u e v , sua soma u  v é o vetor sobre
 
a diagonal do paralelogramo determinado por u e v . (ver figura abaixo)
Regra do paralelogramo- Dados os vetores
Subtraindo dois vetores
Se




v e w são dois vetores quaisquer então a diferença entre v e w é
definida por
  

v  w  v   w (Ver figura abaixo)
 



v  w sem construir  w , posicione v e w de tal modo


que seus pontos iniciais coincidam; o vetor do ponto final de w ao ponto final de v é
 
então o vetor v  w (Ver figura abaixo).
Para obter a diferença
44
Da figura abaixo, pode-se ver que: Num paralelogramo construído sobre
dois vetores
     
u e v , u  v e u  v correspondem às diagonais deste paralelogramo.
Exercícios:


1) Desenhe os vetores 2 u ,  u

u
2) Some os vetores pelo primeiro modo (origem com extremidade)

F

A

G

H

B

I
3) Some os vetores pela regra do paralelogramo.

U

E

V

F
45
4) Desenhe o vetor:
  
a) C  A  B

A

B
  
b) D  V  U

U

V
Vetores em sistemas de coordenadas
A introdução de um sistema de coordenadas retangulares muitas vezes
simplifica problemas envolvendo vetores. Seja V um vetor no plano, que tenha sido
posicionado com seu ponto inicial na origem de um sistema de coordenadas
retangulares de acordo com a figura abaixo. As coordenadas
v1 ,v2  do ponto final de
V são chamadas de componentes de V e escrevemos
V
v1 ,v2 
46
Por exemplo: Na figura abaixo

A  3,2  a   , 

B   1,3  b   , 

C  2,1  c   , 
y
x
Muitas vezes é conveniente usar vetores coluna ao invés de vetores linha, por
exemplo, outra representação de
3,2 é
3
2 .
 
Um vetor que tem seu ponto inicial na origem, está na posição padrão. Todo
vetor pode ser desenhado na posição padrão.
Um vetor nem sempre está na posição padrão, ou seja, seu ponto inicial pode
ser um ponto qualquer do plano.
47
Por exemplo, considere um vetor

AB com ponto inicial A=(3,1) e ponto final
B=(6,3), podemos ver pela figura que em termos de componentes

AB pode ser
escrito como

AB  3 , 2  6  3, 3  1
y
x
Note que o vetor
3,2 . é simplesmente a diferença entre as respectivas coordenadas.
Exemplo:
Dados A=(-1,2) e B=(3,4), ache

AB e redesenhe-o (a) na posição padrão e (b) com
ponto inicial no ponto C=(2,-1).
Solução:
y
x
48
Exercícios:
5) Desenhe os seguintes vetores em posição padrão em  .
2
a)
  3
a 
0 
b)
  2
b 
 3
c)
   2
c 
 3
d)
 3
d  
  2
6) Para cada um dos seguintes pares de pontos, desenhe o vetor
determine e redesenhe

AB . Depois

AB na posição padrão.
a) A=(2,2), B= (3,5)
7) Ache o vetor representado pela flecha
b) A=(-3,5), B= (6,-2)

PQ , onde P = (1,2), Q = (2,4). Represente

PQ no plano de duas maneiras: Uma com origem em P e outra com origem em (0,0).
49
Operações vetoriais de soma e multiplicação por escalar em termos de
componentes.
Soma
Como é ilustrado na figura abaixo, se
v1 ,v2  e W= w1 , w2 
V + W= v1  w1 , v2  w2 
V
Então
Observe que em termos de notação de vetores coluna teremos,
V + W
 v1   w1   v1  w1 
v   w   v  w 
2
 2  2  2
Exemplo:
Dados


 
u  3,1 e v  1, 4, calcule e desenhe u  v .
Solução:
y
x
50
Multiplicação por escalar
Se V 
v1 ,v2  e 
é um escalar então
 V   v1 , v2 
ou
 v   v 
 V  1   1
v
v
 2

2

Exemplo:
Se
 1


v   2, 4 , determine e desenhe 2 v , v e  2 v .
2
Solução:
y
x
51
Subtração
v1 ,v2  e W= w1 , w2 
V - W= v1  w1 , v2  w2 
V
Sejam
Então
Resultado a que se chega das definições anteriores de soma e multiplicação por
escalar, pois:
V – W= V + (- W)= V + (-1) W
v 
 w   v    w   v  (w1 ) 
  1    1 1    1    1    1

v2 
w2  v2   w2  v2  (w2 )
 v  w1 
 1

v 2  w2 
Exemplo:
Sendo

 
 

 
a  1, 3 e b  4, 2, calcule b  a e desenhe a , b e b  a .
y
x
Exercícios:
8) Sendo
 3
a 
1
b)
 1 
b 
 2
c)
  1
c 
 4
Determine os vetores indicados e mostre como os resultados podem ser obtidos
geometricamente.
a)
 
a b
b)
 
c b
52
9) Sendo
 3   2   0 
A  B  C  
1 
 2
 5
Calcule
  
a) A  B  C

 
b) 2 A  3B  C



c) A  4 B  5C
Vetores no espaço tridimensional
Sistema de coordenadas retangulares tridimensional
Para construir um sistema de coordenadas retangulares tridimensional, selecionamos
um
ponto
O,
denominado
origem
e
escolhemos
três
retas
mutuamente
perpendiculares passando pela origem, e denominadas eixos coordenados. Designe
estes eixos por
x , y e z e selecione um sentido positivo para cada eixo coordenado,
de acordo com a regra da mão-direita: Posicione quatro dedos da mão direita (de
acordo com a figura) na direção e sentido de
x positivo, gire os dedos na direção do
eixo y positivo, a direção que apontar o dedo polegar será a direção positiva do eixo z.
z
y
x
Cada par de eixos coordenados determina um plano coordenado. Referimo-nos aos
planos coordenados como planos xy ,
xz e yz .
53
A cada ponto P no espaço tridimensional associamos um terno
x, y, z , de
números,
chamados coordenadas de P. (Ver figura abaixo)
Exemplo:
Marque os pontos cujas coordenadas são A=(3,4,5), B=(0,2,5) e C= (2,-2,3)
Vetores no espaço tridimensional
Se um vetor V no espaço tridimensional for posicionado com seu ponto inicial na
origem de um sistema de coordenadas retangulares, como na figura abaixo, então as
coordenadas do ponto final são chamadas os componentes de V e escrevemos
V  v1 , v 2 , v3 
54
Tudo o que foi feito para vetores no plano se generaliza para vetores no espaço
tridimensional. Veja o exemplo:
Se


v  1,3,2 e w  4, 2,1 então
 
 
v  w  5,  1, 3
v  w   3,  5,1

2 v  2,  6, 4
Exercícios:
10) Marque em um sistema de coordenadas tridimensional os pontos:
A= (3,4,5)
B= (-3,4,5)
C= (3,-4,5)
D= (3,4,-5)
E= (3,0,3)
11) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem:

v  3, 2, 3

w  2, 2, 0

u  0, 0,  3
12) Sendo
1 
  4
 3
        
A  3  B   0  C   2
2
 1 
 5 
Calcule
  
a) A  B  C



b)  3 A  2 B  2C



c) A  3B  4C
55
Obtendo as componentes de um vetor (Vetores dados por extremidades).
Vimos anteriormente, no estudo de vetores no plano, que um vetor nem
sempre está na posição padrão, ou seja, seu ponto inicial pode ser um ponto qualquer
do plano. Do exemplo dado vimos que um vetor com ponto inicial em A=(3,1) e ponto
final B=(6,3), pode ser escrito como

AB  3 , 2  6  3, 3  1
Sendo o vetor
3,2 simplesmente a diferença entre as respectivas coordenadas.
Este resultado pode agora ser obtido, usando o conceito de diferença entre
vetores. Observe a figura:
P x0 , y 0 
y
Qx1 , y1 

P

Q
x

Seja PQ o vetor com origem no ponto P e extremidade no ponto Q . Da figura vemos que

 
PQ  Q  P  x1 , y1   x0 , y 0 

O que implica
PQ  x1  x0 , y1  y 0 
Logo:


Sendo P  x0 , y 0  e Q  x1 , y1  , o vetor PQ será dado por PQ  x1  x0 , y1  y 0 
Exemplo:
Ache o vetor representado pela flecha


PQ , onde P = (1,2), Q = (2,4). Represente PQ
no plano de duas maneiras: Uma com origem em P e outra com origem em (0,0).


PQ  (2  1,4  2)  PQ  1,2
y
Q2,4
P1,2
y
2
x
1
x
56

PQ com extremidades P  x0 , y0 , z 0  e
Em três dimensões, para obter o vetor
Q  x1 , y1 , z1  , procedemos da mesma maneira anterior. Veja a figura:
P x0 , y 0 , z 0 
z

P
Qx1 , y1 , z1 

Q
y
x

Seja PQ o vetor com origem no ponto P e extremidade no ponto Q . Da figura vemos que

 
PQ  Q  P  x1 , y1 , z1   x0 , y 0 , z 0 

PQ  x1  x0 , y1  y 0 , z1  z 0 
O que implica
Logo:

Sendo P  x0 , y0 , z 0  e Q  x1 , y1 , z1  , o vetor PQ será dado por

PQ  x1  x0 , y1  y 0 , z1  z 0 
Exemplo:
Encontre o vetor
Solução:

PQ , onde P = (1,2,3), Q = (4,5,6).

PQ  x1  x0 , y1  y 0 , z1  z 0 


PQ  (4  1, 5  2, 6  3)  PQ  3,3,3
Exercícios:
13) Encontre as componentes do vetor de ponto inicial
a)
P1  4,8, P2  3,7
P1 e ponto final P2 .
b) P1  3,5, P2   4,7
c)
P1  3,7,2, P2   2,5,4
d)
P1   1,0,2, P2  0,1, 0
57
Norma de um vetor
O comprimento (módulo) de um vetor



v , podendo ser denotada por v ou v .

v é muitas vezes chamado de norma de
Cálculo da norma de um vetor em termos das coordenadas do vetor.
Espaço bidimensional
Seja

v  a, b
y
b

v
a
x
Da figura vemos que a e b são as medidas dos catetos de um triângulo retângulo e

v
é o valor da hipotenusa . Do teorema de Pitágoras temos

v  a2  b2
Logo:
Sendo



v  a, b a norma de v será dada por v  a 2  b 2
Exemplo:
Sendo


u  3, 4 , calcule u .
Solução:

u = 4 2  32  25  5
Exemplo:
Calcule a norma do vetor de ponto inicial (5,3) e ponto final (2,4)

u =
2  52  4  32
(pois 2-5 e 4-3 são as componentes x e y
respectivamente de
=

u)
9  1 = 10
58
Espaço tridimensional
Seja

v  a, b, c 
z
c

v
b
y
a
x
Da figura vemos que a hipotenusa do triângulo retângulo no plano xy de catetos a e b,
é um cateto do triângulo retângulo que tem valor da hipotenusa

v .Chamando de h o
valor da hipotenusa do triângulo retângulo no plano xy , temos
h2  a2  b2

v  h2  c2
Mas
(1)
(2)
Substituindo (1) em (2) finalmente obtemos

v  a2  b2  c2
Logo:
Sendo



v  a, b, c a norma de v será dada por v  a 2  b 2  c 2
Exemplo:

Calcule o módulo do vetor v  2,1,3 .
Solução:


2
v  2 2   1  32  v  14
Exemplo:
Calcule o módulo do vetor

PQ , onde P = (1,2,3), Q = (4,5,6).
Solução:


PQ  (4  1, 5  2, 6  3)  PQ  3,3,3


 PQ  3 2  3 2  3 2  PQ  27

Ou diretamente: PQ 
4  12  5  22  6  32

 3 2  3 2  3 2  PQ  27
59
Exercícios:
14) Calcule a norma dos vetores:
a ) 2,1
b)  3,4
c ) 2,1,3
d )  1,1,1
e) 0,1,0
15) Calcule a norma dos vetores de ponto inicial P e ponto final Q.
a) P = (3,2), Q = (2,1)
b) P = (3,-7,2), Q = (-2,5,-4)
c) P = (1,4), Q = (3,2)
d) P = (1,2,3), Q = (4,5,6)
16) Encontre um vetor unitário u com o mesmo sentido de a, sendo a = (3,4).
17) Encontre um vetor unitário v com sentido contrário a b, sendo b = (1,2,4).
60
Vetores unitários canônicos
Considere os vetores
iˆ  1,0,0,
ˆj  0,1,0 e kˆ  0,0,1
Estes vetores têm cada um módulo 1 e estão sobre os eixos coordenados (de acordo
com a figura). Eles são chamados vetores unitários canônicos do espaço
tridimensional.
z
k̂
ĵ
iˆ
y
x
Cada vetor

v  v1 , v2 , v3  pode ser escrito em termos de iˆ , ĵ e k̂ , pois

v  v1 , v2 , v3   v1 1, 0, 0  v2 0,1, 0  v2 0, 0, 1
= v1 iˆ  v2 ˆj  v3 kˆ
Por exemplo,
2,3, 4  2 iˆ  3 ˆj  4 kˆ
Exemplo:
Escreva o vetor de componentes (2,3) em termos dos vetores unitários na direção x e
y no plano. Represente graficamente.
Solução:

v  2 iˆ  3 ˆj
y
3
y

v
ĵ
iˆ
2
x
61
Exercícios:
 

  
 
 
a e b em cada item calcule: a  b , 2a  3b , a ,  2b e a  b .


b  iˆ  6 ˆj
a) a  2 iˆ  5 ˆj
18) Dados

b) a  iˆ  ˆj  kˆ,
19) Sendo
  
3 u  5v  w .

b  2iˆ  3 ˆj  5kˆ



u  2,2, 3 , v  3iˆ  2 ˆj  kˆ e w  3iˆ  6 ˆj  4kˆ calcule a expressão
62
Produto escalar de vetores
Conceito
Sejam u e v dois vetores no espaço bi ou tridimensional e suponha que estes vetores
foram posicionados de tal modo que seus pontos iniciais coincidem. Pelo ângulo entre
u e v entende-se o ângulo  determinado por u e v que satisfaz 0     , conforme
figura abaixo.
u
u
θ
θ
v
v
u
θ
u
v
v
θ
Definição:


Se u e v são vetores no espaço bi ou tridimensional e  é o ângulo entre eles, então
 
o produto escalar u  v , ou produto interno, é definido por
   
u  v  u v cos
Exemplo:
O ângulo entre os vetores
Solução:


 
u  0,0,1 e v  0,2,2 é de 45° Calcule u  v
   
u  v  u v cos
 0 2  0 2  12 0 2  2 2  2 2 cos 45
2
 1x 2 2 x
2
2
Vetores ortogonais
 
Dois vetores u e v são perpendiculares se o ângulo
reto, isto é,    2 radianos, ou 90°.
Assim

entre eles é um ângulo
   
 
 
u  v  u v cos 90  u v x 0  0 , portanto u  v  0
Isto motiva a seguinte definição:
 
Dois vetores u e v são ortogonais entre si se
 
u v  0
63
Produto escalar em termos de componentes
Para efeitos de cálculo, é desejável ter uma fórmula que dê o produto escalar
de dois vetores em termos dos componentes do vetor.
Sendo dados
Temos:
Logo:

 

A  a1iˆ  a2 ˆj  a3kˆ e B  b1iˆ  b2 ˆj  b3kˆ , como calcular A  B ?

A  a1iˆ  a 2 ˆj  a3 kˆ

B  b1iˆ  b2 ˆj  b3 kˆ


 
A  B  a1iˆ  a 2 ˆj  a3 kˆ  b1iˆ  b2 ˆj  b3 kˆ
 a iˆ  b iˆ  a iˆ  b ˆj  a iˆ  b kˆ 
1
1
1
2
1

3
 a 2 ˆj  b1iˆ  a 2 ˆj  b2 ˆj  a 2 ˆj  b3 kˆ 
 a kˆ  b iˆ  a kˆ  b ˆj  a kˆ  b kˆ
3
1
3
2
3
3
 a1b1iˆ  iˆ  a1b2 iˆ  ˆj  a1b3 iˆ  kˆ 
 a b ˆj  iˆ  a b ˆj  ˆj  a b ˆj  kˆ 
2 1
2 2
2 3
 a3 b1 kˆ  iˆ  a3 b2 kˆ  ˆj  a3 b3 kˆ  kˆ
No entanto:
iˆ  iˆ  iˆ iˆ cos 0  1  1  1  1
analogamente
ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  1
iˆ  ˆj  iˆ ˆj cos 90   1 1  0  0
analogamente iˆ  ˆj  iˆ  kˆ  ˆj  kˆ  0
 
A  B  a1b1  a2b2  a3b3
Assim:
Logo:
Seja
e



u  a1 , a2 , a3  e v  b1 , b2 , b3  dois vetores no espaço. O produto escalar entre u

v , é dado por
 
u  v  a1b1  a2 b2  a3b3
Analogamente:

Seja u  a1 , a2 e

dado por




v  b1 ,b2  dois vetores no plano. O produto escalar entre u e v , é
 
u  v  a1b1  a2 b2
Exemplo:
Considere os vetores


 
u  1, 2, 4 e v  1, 0,3. Encontre u  v .
64
Obtendo o ângulo entre vetores
 
Se u e v são vetores não-nulos, então podemos escrever
 
u v
cos   
u v
Exemplo:
Considere os vetores
a) Encontre
 
u v


u  0,1 e v  1,1 .
b) Determine o ângulo
Exemplo:
Considere os vetores
a) Encontre
 
u v

entre
 
u e v


u  2,  1,1 e v  1,1, 2 .
b) Determine o ângulo

entre
 
u e v
Exercícios:
 
u v


a) u  2, 3 e v  5,  7
20) Encontre
c)


u  1,  5, 4 e v  3, 3, 3
b)


u   6,  2 e v  4, 0
d)


u   2, 2, 3 e v  1, 7,  4 .
21) Nos exercícios de a até b, calcule o ângulo entre os vetores:


a) v  (1,4) e w  (1,2)

b) a  (1,0,2)

e b  (3,4,5)
65
Produto vetorial de vetores
Definição
O produto vetorial entre dois vetores
formado por
 
a  b , é outro vetor perpendicular ao plano
 
a e b ,sendo a direção e o sentido deste, dados pela regra da mão-direita,
de acordo com a figura:
O módulo de
 
a  b é definido pela expressão
   
a  b  a b sen
Exemplo:

Considere um elétron penetrando em uma região com campo magnético B , como
mostrado na figura.
A expressão que fornece a força sofrida pelo elétron ao penetrar no campo é dada por


 

F  q v  B (onde q é a carga do elétron, v é a velocidade e B é o campo
magnético).
Em cada caso desenhe na figura o vetor
v  3,0x107m/s e
B2  B3  2,0 N  s m
N  s m (Newton
B1  1,5

F . Considere q  1,

F e calcule
vezes
segundo
sobre
metro)
a)

v
b)
B1

 v
c)

v
B3
B2
66
Produto vetorial em termos de componentes
Sendo dados
Temos:
Logo:

  

A  a1iˆ  a2 ˆj  a3kˆ e B  b1iˆ  b2 ˆj  b3kˆ , como encontrar C  A  B ?

A  a1iˆ  a 2 ˆj  a3 kˆ

B  b1iˆ  b2 ˆj  b3 kˆ


  
C  A  B  a1iˆ  a 2 ˆj  a3 kˆ  b1iˆ  b2 ˆj  b3 kˆ
 a b iˆ  iˆ  a b iˆ  ˆj  a b iˆ  kˆ 
1 1
1 2

1 3
 a 2 b1 ˆj  iˆ  a 2 b2 ˆj  ˆj  a 2 b3 ˆj  kˆ 
 a b kˆ  iˆ  a b kˆ  ˆj  a b kˆ  kˆ
3 1
3 2
3 3
No entanto:
iˆ  iˆ  iˆ iˆ sen 0  1  1 0  0  iˆ  iˆ  0
analogamente
ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  0
Observando as figuras e utilizando o fato que
iˆ  ˆj  iˆ ˆj sen 90   1 1  1  1 ,
podemos concluir que iˆ  ˆj  kˆ .
z
k̂
iˆ
ĵ
y
x
Assim temos:
e
iˆ  ˆj  kˆ
ˆj  iˆ  kˆ
ˆj  kˆ  iˆ
kˆ  iˆ  ˆj
kˆ  ˆj  iˆ iˆ  kˆ   ˆj
67
Logo teremos:
  
C  A  B  a1b2 kˆ  a1b3 ˆj 
 a b kˆ  a b iˆ 
2 1
2 3
 a3b1 ˆj  a3b2 iˆ
 a 2 b3  a3b2 iˆ  ˆj a1b3  a3b1   a1b2  a 2 b1 kˆ
Expressão que pode ser colocada na forma de determinante (“Simbólico”):
iˆ
 
A  B  a1
ˆj
a2
kˆ
a3
b1
b2
b3
Exemplo:
Calcule o produto vetorial entre os vetores:

v  (1,2,3) e w  (1,2,5)
iˆ
 
vw 1
ˆj
kˆ
2
3
1
2
5
Exercícios:
22) Nos exercícios de
a até c, use produto vetorial para encontrar um vetor não nulo

 
c , ortogonal a a e b .




a) a = (3,2,1), b = (4,1,3)
b) a = (2,-1,3), b = (5,1,-1)


c) a = (3,4,5), b = (1,2,3)
68
Exercícios de Revisão
1) Sendo
  3
a 
0 
b)
  2
b 
 3
c)
   2
c 
 3
a) Desenhe num mesmo sistema de coordenadas os vetores acima na posição padrão.
b) Desenhe num mesmo sistema de coordenadas os vetores acima com suas origens
em (1,1).
c) Determine
 
a  b e mostre como o resultado pode ser obtido geometricamente.
c) Determine
 
c  b e mostre como o resultado pode ser obtido geometricamente.
2) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem:

v  0, 2, 0

w  3, 2, 1

u  1,  2, 1
69
3) Sejam



u   3,1,2, v  4,0,8 e w  6,1,4. Encontre os componentes de
 
a) v  w


b) 6 u  2 v
 
c)  v  u


d ) 5 v  4 u 


e)  3 v  8 w


 
f ) 2 u  7 w  8 v  u 
4) Encontre as componentes do vetor de ponto inicial
a)
P1   5,0, P2   3,1
c)
P1  1, 2,3, P2  6, 8,10
5) Dados a e b em cada item calcule:
a)


a = (2,3), b =(-1,-2)
b)


a = iˆ +3 ĵ , b = -2 iˆ -5 ĵ
c)


a = (0,2,1), b =(-1,1,1)

d) a  3 iˆ  ˆj  2 kˆ,
P1 e ponto final P2 .
b) P1  2,7, P2  5,3
d)
P1  5,3,1, P2  2,3, 0

 

 3a , b e b  a .

b  iˆ  2 ˆj  3kˆ
70
6) Encontre um vetor unitário


sentido oposto ao de A .
V com

a ) A  2,3


U com o mesmo sentido de A e um vetor unitário

b) A   2,1,4

c ) A   1,4

d ) A  3,5,6
 
u v


a) u   1, 2 e v  3,1
7) Encontre


c) u  1, 2, 3 e v  2, 3,1
b)


u  3,  2 e v  4, 6
 3,2 
1,5 
 
  

d) u   0,6 e v  4,1 .


 
  1,4 
0,2
8) Nos exercícios de a até b, calcule o ângulo entre os vetores:


a) v  (3,1) e w  (1,3)

b) a  (1,3,2)

e b  (0,2,6)
71
9) Sejam p = (2,k) e q = (3,5). Encontre k tal que p e q são ortogonais.
10) Encontre todos os possíveis valores de k para os quais os dois vetores são
ortogonais.
a)
 2  k  1
u  v

 3
k  1
 k2
 1
    

b) u   1
  v k 
 3 
 2


11) Encontre um vetor que é ortogonal a ambos
a)


u   6, 4, 2 e v  3,1, 5
b)


u   2,1, 5 e v  3, 0,  3
12) Sejam
 
ue v



u  3, 2,  1. v  0, 2,  3 e w  2, 6, 7 calcule
a)
u  v  w
b)
 

u  v  2 w
72
APLICAÇÕES DE VETORES.
Distância entre dois pontos

A distância entre dois pontos P e Q é a norma do vetor

P e Q no plano:
y
PQ .
P x0 , y 0 
Qx1 , y1 
x

PQ  x1  x0 , y1  y0   d ( P, Q) 

x1  x0 2   y1  y0 2
P e Q no espaço tridimensional:
z
P x0 , y 0 , z 0 
Qx1 , y1 , z1 
y
x

PQ  x1  x0 , y1  y0 , z1  z 0   d ( P, Q) 
x1  x0 2   y1  y0 2  z1  z0 2
Exemplo:
Encontre a distância entre os pontos:
a) P (2,3) e Q=(5,4)
b) P (1,0,-5) e Q=(3,-2,4)
73
Cálculo de ângulos
Exemplo:
Encontre os ângulos internos do triângulo com vértices (0,-1), (1,-2) e (4,1).
Solução:
B(1,-2)
C(4,1)
A(0,-1)



AB AC
cos A  

AB AC

AB  1,1

AC  4,2 

 cos A 



BA BC
cos B  

BA BC


BA   AB   1,1

BC  (3,3)
1,1  4,2
2
12   1 4 2  2 2

2
40

 A  71,57 
  1,1  3,3

0
cos B 

 0  B  90 
36
2 32  32

 

C  180   ( A  B)  180   161,57  C  18,43
74
Um exemplo em física

Um bloco é puxado por uma força F  2iˆ  ˆj , se deslocando na direção

d  iˆ . Qual a
intensidade da força? Qual o valor da força na direção do deslocamento? e
perpendicular ao deslocamento (força dada em Newton)? Qual o ângulo entre a força e
a direção do deslocamento? Desenhe.
y
1

F

x
2


2 2  12  F  5 N


Força na direção do deslocamento FD : F  2iˆ  ˆj ,e o bloco se desloca na direção

d  iˆ , ou seja ao longo do eixo x, assim vemos que a força ao longo de x é de 2N.

Que pode ser escrito como FD  2 N .
Intensidade da força: F 
Valor da força perpendicular ao deslocamento: Como a direção perpendicular à
direção do deslocamento está na direção do eixo y, pode também ser visto da
expressão da força que

F  1 N .
Ângulo entre a força e a direção do deslocamento:Da figura vemos que o ângulo
pode ser obtido de
2
cos  
 
F d
ou de cos   
 
F d
5
   26,57 
2,1 1, 0
2  1 1
2
2

2
5
   26,57 
75
Cálculo da área de um triângulo
Recordemos que a área de um paralelogramo é dada por:
a
S  a b sen

b
Consideremos agora dois vetores com origens coincidentes, determinando um
paralelogramo como na figura abaixo. Vimos que o módulo do produto vetorial entre
eles será dado por
 

u v  u

v sen
Comparando as duas figuras podemos concluir que: o módulo do produto vetorial entre
os dois vetores é igual a área do paralelogramo determinado por eles. Assim podemos
escrever
 

S  u v  u

v sen
onde S é a área do paralelogramo determinado pelos vetores
 
u e v.
Exemplo: Calcule a área do triângulo cujos vértices são
A(2,1,-1), B(1,-1,0) e C(-1,1,2).
76
Exercícios sobre aplicações:
1) Calcule a distância entre os pontos:
a) P1=(3,4), P2(5,7)
b) P1=(-3,6), P2(-1,-4)
c) P1=(7,-5,1), P2(-7,-2,-1)
d) P1=(3,3,3), P2(6,0,3)
2) Encontre os ângulos internos do triângulo com vértices (0,-1), (1,-2) e (4,1).
3) Encontre os três ângulos do triângulo com vértices A(1,1,1), B(3,-2,3) e C(3,4,6).
77
4) Encontre o ângulo entre a diagonal do cubo e uma de suas arestas adjacentes, de
acordo com a figura

5) Um bloco é puxado por uma força F  5iˆ  3 ˆj , se deslocando na direção

d  iˆ .
Qual a intensidade da força? Qual o valor da força na direção do deslocamento? e
perpendicular ao deslocamento (força dada em Newton)? Qual o ângulo entre a força e
a direção do deslocamento? Desenhe.
6) Calcule a área do triângulo cujos vértices são
A(1,2,-1), B(3,-1,0) e C(-3,2,2).
78
1 2

A  
3 1
3 1

B  
1 2
0 
 10

C  
 0  10 
 0  3

D  
3 0 
7) Com relação a figura abaixo
resolva:
a) Encontre os ângulos dos vértices do triângulo PQR
b) Calcule a área do triângulo PQR
79
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