Page 1 Números Complexos - AFA 1. (AFA 2006) Considere o

Números Complexos - AFA
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3
e calcule z n . No conjunto formado pelos
−i
2
2
n
quatro menores valores naturais de n para os quais z é um número real:
1. (AFA 2006) Considere o número complexo z =
(A) existem números que estão em progressão aritmética de razão igual a 4
(B) há elementos cuja soma é igual a 30
(C) existe um único número ímpar
(D) existe apenas um elemento que é número primo
Solução:
Repare que z =
Ou seja: − nπ
(
)
(
)
(
)
1
3
−i
= cis − π ⇒ z n = cis − nπ . Para z n ser real, devemos ter sen − nπ = 0 .
3
3
3
2
2
= kπ ( k ∈ ) . Assim, os quatro menores valores naturais de n são: {0,3, 6,9} . Neste
3
conjunto, há apenas um número primo.
Opção (D)
2. (AFA 2006) Analise as afirmativas abaixo referentes aos números complexos z = 3 + i ⎛⎜ 1 ⎞⎟ e
2
⎝2⎠
w = 1− i .
(01) z w10 é um número imaginário puro.
(02) O afixo de w −1 é o ponto
⎛1 1⎞.
⎜ , ⎟
⎝2 2⎠
(
(04) A forma trigonométrica de z é cos 11π
6
) + isen (11π 6 ) .
(08) As raízes quartas de w são vértices de um quadrado inscrito numa circunferência de centro na
origem e raio r = 4 2 .
Somando-se os números associados às afirmativas verdadeiras obtém-se um total t, tal que:
(A)
(B)
(C)
(D)
t ∈ [1, 4 ]
t ∈[ 5 , 8 ]
t ∈ [ 9 , 12 ]
t ∈ [ 13 , 15 ]
Solução:
(01) Repare que w2 = (1 − i ) = 1 − 2i + i 2 = −2i ⇒ w10 = ( −2i ) = −32i . Assim:
2
imaginário puro. Correta assertiva!
5
z w10 = 1⋅ 32i = 32i , um
(02) Ora w−1 =
(04) z =
1
1+ i 1 ⎛ 1 ⎞
=
= + i ⎜ ⎟ . Correta assertiva!
1− i
2
2 ⎝2⎠
( )
(
)
(
)
(
)
3 ⎛1⎞
+ i ⎜ ⎟ = cis π ⇒ z = cis − π = cis 2π − π = cis 11π . Correta assertiva!
6
6
6
6
2
⎝2⎠
(08) Seja z uma raiz quarta de w . Temos z = 4 w ⇒ z 4 = w = 1 − i ⇒ z = 1 − i = 2 ⇒ z = 8 2 .
4
Incorreta assertiva!
Logo t = 1 + 2 + 4 = 7 .
Opção (B)
3. (AFA 2007) Seja z um número complexo não nulo e i a unidade imaginária ( i 2 = −1 ), z ≠ i. O conjunto
de todos os valores de z para os quais
z+i
1 + iz
é um número real, representa um(a):
(A) elipse
(B) hipérbole
(C) circunferência
(D) círculo
Solução:
Seja z = a + ib ( a, b ∈ ) . Teremos o seguinte desenvolvimento:
2
2
a + i (1 + b ) ⎣⎡ a + i (1 + b ) ⎦⎤ ⎣⎡(1 − b ) − ia ⎦⎤ 2a + i (1 − a − b )
z+i
a + ib + i
.
=
=
=
=
2
2
1 + iz 1 + i ( a + ib ) (1 − b ) + ia
(1 − b ) + a 2
(1 − b ) + a 2
A fim de obedecer o enunciado, devemos ter 1 − a 2 − b 2 = 0 , ou seja, uma circunferência de centro ( 0, 0 )
e raio unitário.
Opção (C)
4. (AFA 2008) Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos z1 = − x − 2i , z 2 = −2i ,
z 3 = −2 + 3i e z4 = x + yi , onde x e y são números reais quaisquer e i 2 = −1 .
Sobre o conjunto desses números complexos que atendem simultaneamente às condições:
(
)
(
)
I) Re z1.z2 ≤ Im z1.z2 .
II) z3 + z 4 ≤ 2 .
É correto afirmar que:
(A) representa uma região plana cuja área é menor que 6 unidades de área
(B) possui vários elementos que são números imaginários puros
(C) possui vários elementos que são números reais
(D) seu elemento z de menor módulo possível possui afixo que pertence à reta (r) 3 x + 2 y = 0
Solução:
(
(
)
)
⎧Re z1 ⋅ z2 = −4
⎪
z1 ⋅ z2 = ( − x + 2i )( 2i ) = −2 xi − 4 ⇒ ⎨
⎪⎩Im z1 ⋅ z2 = −2 x
(
)
(
)
I) Re z1.z2 ≤ Im z1.z2 ⇔ −4 ≤ −2 x ⇔ x ≤ 2.
II) z3 + z4 = ( x − 2 ) + ( y + 3) i ⇒ z3 + z4 =
( x − 2 ) + ( y + 3)
2
≤ 2 ⇒ ( x − 2 ) + ( y + 3) ≤ 4.
2
2
Reparemos que z4 pertence a uma semi-circunferência de centro
( 2, −3)
2
e raio 2 . O complexo de
menor módulo seria aquele cujo afixo está alinhado ao centro dessa circunferência. Portanto a equação
de reta desse afixo é dada por: y − 0 = tg (π − α ) ⋅ ( x − 0 ) , onde α é tal que tgα = 3 . Logo a reta tem a
2
seguinte equação paramétrica: y = − 3 ⋅ x ⇒ 3 x + 2 y = 0 .
2
Opção (D)
20
⎛1
3⎞
6
5
4
3
5. (AFA 2008) Sabendo que x0 = −i, x1 = 3 e x2 = ⎜ + i
⎟⎟ são raízes de P ( x ) = x − 3 x + x − 4 x +
⎜2
2 ⎠
⎝
+3x 2 − ax + 3 , onde i é a unidade imaginária e a é número real, marque a alternativa FALSA.
(A) O número a também é raiz de P(x)
(B) A soma das raízes reais de P(x) é um número par
(C) O produto das raízes imaginárias de P(x) é diferente de a
(D) P(x) é divisível por x 2 − x + 1
Solução:
20
⎛1
1
3
3⎞
1
3
.
= cis π ⇒ x2 = ⎜⎜ + i
Temos + i
⎟⎟ = cis 20π 3 = cis 3 ⋅ 2π + 2π 3 = cis 2π 3 = − + i
3
2
2
2 ⎠
2
2
⎝2
( )
⎪⎧
(
)
(
)
(
)
1
3 1
3 ⎪⎫
+i
,− −i
,α ⎬ .
2
2
2
2
⎪⎩
⎪⎭
⎛ 1
3⎞ ⎛ 1
3⎞
Repare que S6 =
zi1 zi2 ...zi6 = ( −i ) ⋅ ( i ) ⋅ ⎜⎜ − + i
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ − − i
⎟ ⋅ ( 3) ⋅ (α ) = 3α = 3 ⇒ α = 1.
∑
2 ⎠ ⎝ 2
2 ⎟⎠
1≤ i1 <i2 <...< i6 ≤ 6
⎝ 2
Portanto as raízes de P ( x ) são: ⎨−i, +i,3, −
Letra a)
⎡ ⎛ 1
3 ⎞⎤ ⎡ ⎛ 1
3 ⎞⎤
2
2
2
P ( x ) = ( x − i )( x + i ) ⎢ x − ⎜⎜ − + i
⎟⎟ ⎥ ⎢ x − ⎜⎜ − − i
⎟⎟ ⎥ ( x − 3)( x − 1) = ( x + 1) ⋅ ( x + x + 1) ⋅ ( x − 4 x + 3) =
2 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ 2
2 ⎠ ⎥⎦
⎢⎣ ⎝ 2
= x 6 − 3x 5 + x 4 − 4 x3 + 3x 2 − x + 3 . Logo a = 1 e realmente é raiz. Correta assertiva!
Letra b)
As raízes reais de P ( x ) são 1 e 3, cuja soma é par. Correta assertiva!
Letra c)
Como as raízes imaginárias têm módulo unitário e P ( x ) tem coeficientes reais, seu produtório é sempre
igual a 1. Incorreta assertiva!
Opção (C)
6. (AFA 2009) Considere todos os números complexos z = x + iy ( x ∈ , y ∈ e i = −1 ), tais que
z − −1 ≤
2
. Sobre esses números complexos, é correto afirmar que:
1+ i
(A) nenhum deles é imaginário puro
(B) existe algum número real positivo
(C) apenas um é número real
(D) são todos imaginários
Solução:
2
2
=
= 1 ⇔ z pertence a uma circunferência de centro ( 0,1) e raio unitário. Logo o
1+ i
12 + 12
único valor real de z que satisfaz a condição imposta pelo enunciado é o 0.
z − −1 ≤
Opção (C)